2. 阅读数学教材24-25页,解决问题:
一个直角三角形的两条直角边分别为$a$,$b(a ＜ b)$,斜边为$c$.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图①的大正方形.(这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为"赵爽弦图")
探究活动
(1)如图①,中间围成的小正方形的边长为
b-a
(用含有$a$,$b$的代数式表示),根据大正方形的面积表示得出关于$a^{2}$,$b^{2}$,$c^{2}$的一个等式,并给出证明过程.
初步运用
(2)利用上述结论完成下列问题:
①直角三角形两边长分别是6,8,则第三边的平方为
100或28
;
②如图②是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形$A$,$B$,$C$,$D$的面积分别是3,5,2,3,求正方形$E$的边长.
答案：2.(1)$b-a$
解:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.证明:
∵大正方形的面积等于4个直角三
角形的面积+中间的小正方形的面积,可表示为$4×$
$\frac{1}{2}ab+(b-a)^{2},$
大正方形的面积还可以表示为$c^{2},$
$\therefore c^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^{2}$,化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2)①100或28
②解:如答图,设正方形G,H,E的边长分别为a,b,c,
根据勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2},$
∴正方形G,H的面积之和等于正方形E的面积,
同理可得正方形A,B的面积之和等于正方形G的面积,
正方形C,D的面积之和等于正方形H的面积,
∴正方形
E的面积等于正方形A,B,C,D的面积的和,
∴正方形E的面积为$3+5+2+3=13,$
∴正方形E的边长为$\sqrt{13}.$
