答案：
1.证明:连接BD,如答图.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
$\therefore HE// DB,HE=\frac{1}{2}BD,GF=\frac{1}{2}DB,FG// DB,$
$\therefore FG// HE,GF=HE,$
∴四边形EFGH是平行四边形.

答案：
2.解:如答图,取BD的中点P,连接PM,PN.

在△ABD中,P,M分别是BD,AD的中点,
$\therefore PM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5.$
在△BDC中,P,N分别是BD,BC的中点,
$\therefore PN=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×8=4.$
在△PMN中,$PM-PN＜MN＜PM+PN,$
即$5-4＜MN＜5+4,\therefore 1＜MN＜9.$

答案：
3.证明:如答图,取AB的中点H,连接MH,NH.
在△BEA中,N,H分别为BE,BA的中点,
$\therefore NH=\frac{1}{2}EA.$
在△BAF中,H,M分别是BA,FA的中点,
$\therefore MH=\frac{1}{2}FB.$
$\because CA=CB,CE=CF,\therefore EA=FB,\therefore NH=MH.$
又$\because NH// EA,MH// FB,$
$\therefore ∠BHN=∠BAC=45^{\circ },∠AHM=∠ABC=45^{\circ },$
$\therefore ∠MHN=180^{\circ }-∠BHN-∠AHM=180^{\circ }-45^{\circ }-$
$45^{\circ }=90^{\circ },$
∴△MHN是等腰直角三角形.
根据勾股定理得$HM=NH=\frac{\sqrt{2}}{2}MN,$
$\therefore AE=2NH=2×\frac{\sqrt{2}}{2}MN=\sqrt{2}MN.$