答案：
4.解:如答图,取BC边的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴EG是△ABC的中位线,
FG是△BCD的中位线,
$\therefore EG// AC,EG=\frac{1}{2}AC,$
$FG// BD,FG=\frac{1}{2}BD.$
又$BD=12,AC=16,AC⊥BD,$
$\therefore EG=8,FG=6,EG⊥FG.$
在Rt△EGF中,由勾股定理,得
$EF=\sqrt{EG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$,即EF的长是10.

答案：
5.证明:作$DM// CF$交AB于点M,如答图.

∵AD是BC边上的中线,E是AD的中点,
∴DM是△BCF的中位线,EF是△ADM的中位线,
$\therefore BM=FM,AF=FM,\therefore BM=FM=AF,$
$\therefore BF=2AF.$

答案：
6.解:延长BD交射线CA于点E,如答图.
∵AD为△ABC的外角平分线,
$\therefore ∠EAD=∠BAD.$
在△EAD和△BAD中,$\{\begin{array}{l} ∠EAD=∠BAD,\\ AD=AD,\\ ∠ADE=∠ADB=90^{\circ },\end{array} $
$\therefore △EAD≌ △BAD(ASA),\therefore AE=AB=12,BD=DE,$
$\therefore EC=AE+AC=30.$
∵点M为BC的中点,$BD=DE$,
∴DM是△EBC的中位线,
$\therefore DM=\frac{1}{2}EC=15.$

答案：
7.证明:如答图,延长FE到点D,使$DE=EF$,连接AD,
BD.
$\because △BEF$为等腰直角三角形,$∠BEF=90^{\circ },$
$\therefore ∠BFE=∠EBF=45^{\circ },BE⊥DF,$
$\because DE=EF$,
∴BE垂直平分DF,$\therefore ∠BDE=45^{\circ },$
∴△BDF是等腰直角三角形,
$\therefore BD=BF,∠DBF=90^{\circ }.$
$\because ∠CBF+∠ABF=∠ABC=90^{\circ },$
$∠ABD+∠ABF=∠DBF=90^{\circ },$
$\therefore ∠CBF=∠ABD.$
在△ABD和△CBF中,$\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABD=∠CBF,\\ BD=BF,\end{array} $
$\therefore △ABD≌ △CBF(SAS),\therefore AD=CF.$
∵M为AF的中点,$DE=EF,$
∴ME是△ADF的中位线,
$\therefore ME=\frac{1}{2}AD,\therefore ME=\frac{1}{2}CF.$