7. (2025·鼓楼区期末)如图,为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架$ABCD$,然后向右拉动框架,给出下列判断:①四边形$ABCD$是平行四边形;②连接$BD$,$BD$的长度不变;③四边形$ABCD$的面积不变;④四边形$ABCD$的周长不变.其中正确的是 (
C
)
A.①②
B.①③
C.①④
D.①②④
答案：7. C
8. (2025·内江)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$AD=6$,$E$,$F$分别是边$AD$,$CD$上的动点,连接$BE$,$EF$,$G$为$BE$的中点,$H$为$EF$的中点,连接$GH$,则$GH$的最大值是
5
.
答案：8. 5
9. 如图,$BE$,$CF$是$△ ABC$的两条高,$P$是$BC$边的中点,连接$PE$,$PF$,$EF$.
(1)求证:$PE=PF$;
(2)若$∠ A=70°$,求$∠ EPF$的度数.
答案：9. (1)证明:
∵BE,CF是$△ ABC$的两条高,
∴$∠BFC=∠BEC=90°$.
∵P是BC边的中点,
∴$BP=FP=\frac{1}{2}BC$,$CP=EP=\frac{1}{2}BC$,
∴$PE=PF$.
(2)解:
∵$∠A=70°$,
∴$∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°$.
由(1)得,$PB=FP$,$EP=CP$,
∴$∠ABC=∠BFP$,$∠ACB=∠CEP$,
∴$∠BFP+∠CEP=∠ABC+∠ACB=110°$,
∴$∠FPB+∠EPC=360°-(∠ABC+∠ACB+$$∠BFP+∠CEP)=140°$,
∴$∠EPF=180°-(∠FPB+∠EPC)=40°$,
∴$∠EPF$的度数为$40°$.
10. 如图,在矩形$ABCD$中,$E$,$F$分别是$AB$,$CD$上的点,$AE=CF$,连接$EF$,$BF$,$EF$与对角线$AC$交于点$O$,且$BE=BF$,$∠ BEF=2∠ BAC$.
(1)求证:$OE=OF$;
(2)若$BC=2\sqrt{3}$,求$AB$的长.
答案：10. (1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴$CD// AB$,
∴$∠FCO=∠EAO$.
在$△ FCO$与$△ EAO$中,$\begin{cases}∠FOC=∠EOA,\\∠FCO=∠EAO,\\CF=AE,\end{cases}$
∴$△ FCO≌△ EAO(AAS)$,
∴$OF=OE$.
(2)解:如答图,连接OB.
∵$∠BEF=2∠BAC$,
又$∠BEF=∠BAC+∠AOE$,
∴$∠BAC=∠AOE$,
∴$△ EAO$为等腰三角形,
∴$AE=OE$.
∵$△ FCO≌△ EAO$(已证),
∴$△ FCO$为等腰三角形,
∴$OF=CF=AE=OE$,
∴O为EF的中点.
∵$BE=BF$,
∴BO垂直平分EF,
∴Rt$△ BCF≌$Rt$△ BOF≌$Rt$△ BOE(HL)$.
∴$∠CBF=∠OBF=∠OBE=30°$.
∵$BC=2\sqrt{3}$,
∴$CF=AE=2$,$BF=BE=4$,
∴$AB=AE+BE=2+4=6$.
