8. (2025·云南)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,O是AC的中点,连接BO并延长至点D,使$OD=OB$.连接AD,CD.记$AB=a$,$BC=b$,$△ AOB$的周长为$l_{1}$,$△ BOC$的周长为$l_{2}$,四边形ABCD的周长为$l_{3}$.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若$l_{2}-l_{1}=2$,$l_{3}=28$,求AC的长.
答案：8.(1)证明:
∵O是AC的中点,
∴OA=OC.
∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解:$l_{2}-l_{1}$=BC-AB=b-a=2,$l_{3}$=2(AB+BC)=
2(a+b)=28,即a+b=14,
∴$\begin{cases} b-a=2, \\ a+b=14, \end{cases}$$\begin{cases} a=6, \\ b=8, \end{cases}$
∴AB=6,BC=8,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=10.
9. (2025·宿城期中)如图,$△ ABC$中,$AC=BC$,D,E分别为AB,AC的中点,连接DE并延长到点F,使$EF=DE$,连接AF,CD,CF.
(1)直接写出:①四边形ADCF的形状为
矩形
;
②四边形BCFD的形状为
平行四边形
.
(2)请在①②两个结论中选择一个结论,并完成相关证明.
答案：9.(1)①矩形 ②平行四边形
(2)选①,证明:
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴AD=DB,AE=EC.
又
∵EF=DE,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=BC,AD=DB,
∴CD⊥AB.
∴∠ADC=90°.
∴平行四边形ADCF是矩形.
选②,证明:
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴AD=DB,AE=EC.
又
∵EF=DE,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∴CF//AD,CF=AD.
∴CF//BD,CF=BD.
∴四边形BCFD是平行四边形.
