答案：
1.证明:取AF的中点H,连接OH,如答图.
∵正方形ABCD中,AO=OC,
又
∵AH=HF,
∴OH是△ACF的中位线.
∴HO//BC,OH=$\frac{1}{2}$CF,
即CF=2OH,
∴∠AOH=∠ACB=45°,
∴∠OHE=∠AOH+∠FAC=45°+∠FAC.
∵AE平分∠BAC,
∴∠FAC=∠BAE,
又
∵∠AEO=∠ABD+∠BAE=45°+∠BAE,
∴∠OHE=∠AEO,
∴OE=OH,
∴CF=2OE.

答案：
2.证明:如答图,作EK⊥CD于点K.
∵CE=EF,
∴设CK=FK=x.
∵在正方形ABCD中,E为BD上
一点,
∴∠BDC=45°,AB=CD.
∴设EK=DK=y,
∴DF=y-x,
∴DE=$\sqrt{2}$y,DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(y-x),
∴GE=DE-DG=$\sqrt{2}$y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(y-x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(x+y)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=
$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB,
∴AB=$\sqrt{2}$GE.

答案：
3.证明:(1)如答图,连接AE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°,AB=CB.

在△BEA和△BEC中,$\{\begin{array}{l} BE=BE,\\ ∠EBA=∠EBC,\\ BA=BC,\end{array} $
∴△BEA≌△BEC,
∴AE=EC=EF,∠BAE=∠BCE.
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF.
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠BAE+∠BFE=180°,
∴∠ABC+∠AEF=360°-(∠BAE+∠BFE)=180°.
∵∠ABC=90°,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EF.
(2)如答图,延长BC到点M,使CM=BF,连接EM.
∵∠EFC=∠ECF,
∴∠EFB=∠ECM.
在△EFB和△ECM中,$\{\begin{array}{l} EF=EC,\\ ∠EFB=∠ECM,\\ BF=MC,\end{array} $
∴△EFB≌△ECM,
∴EB=EM,∠EBF=∠M=45°,
∴△EBM是等腰直角三角形,
∴BM=$\sqrt{2}$BE.
∵BF=CM,BC=FM=AB,
∴AB+BF=BC+CM=BM=$\sqrt{2}$BE.