8. (2025·黑龙江改编)在函数$y=\dfrac{\sqrt{x+6}}{x+3}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≥-6$且$x≠-3$
.
答案：8.$x≥-6$且$x≠-3$
9. (2025·黑河模拟)函数$y=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}-(x-2)^{0}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≥0$且$x≠2$且$x≠3$
.
答案：9.$x≥0$且$x≠2$且$x≠3$
10. (2025·黄冈期末)已知函数$y=\sqrt{|x-3|+|x+2|-m}$的自变量$x$的取值范围是全体实数，
则$m$的取值范围为
$m≤5$
.
答案：10.$m≤5$
11. (2025·梅州期末)在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为$x$ cm的圆面，剩下一个圆环的面积为$y\ \mathrm{cm}^{2}$，则$y$与$x$的函数关系式为
$y=16π-π x^{2}$
，其中自变量$x$的取值范围是
$0＜ x＜4$
.
答案：11.$y=16π-π x^{2}$ $0＜ x＜4$
12. 已知等腰三角形的周长为45，底边长为$x$，腰长为$y$.
(1)写出$y$与$x$的函数关系式；
(2)写出自变量$x$的取值范围；
(3)当$x$等于多少时，此三角形是等边三角形？
答案：解:(1)$y=\frac{45-x}{2}=-\frac{1}{2}x+\frac{45}{2}$.
(2)由题意,知$\begin{cases} x＞0, \\ y＞0, \\ y+y＞x, \end{cases}$即$\begin{cases} x＞0, \\ -\frac{1}{2}x+\frac{45}{2}＞0, \\ -x+45＞x, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x＞0, \\ x＜45, \\ x＜\frac{45}{2}, \end{cases}$$\therefore0＜ x＜\frac{45}{2}$.
(3)令$x=y$,即$-\frac{1}{2}x+\frac{45}{2}=x$,解得$x=15$.
$\therefore$当$x=15$时,此三角形为等边三角形.
13. (2025·长沙期末)已知点$A(8,0)$及在第一象限内的动点$P(x,y)$，且$x+y=10$.设$△ OPA$的面积为$S$.
(1)求$S$关于$x$的函数解析式；
(2)求$x$的取值范围，并根据$x$的取值范围求$S$的取值范围；
(3)当$S=12$时，求$P$点的坐标.
答案：解:(1)$\because x+y=10$,$\therefore y=10-x$,$\therefore P(x,10-x)$.
$\because A(8,0)$,且$P$点在第一象限,
$\therefore S=\frac{1}{2}OA· y_{P}=\frac{1}{2}×8×(10-x)=40-4x$.
$\therefore S$关于$x$的函数解析式为$S=-4x+40$.
(2)$\because P$点在第一象限,$\therefore\begin{cases} x＞0, \\ 10-x＞0 \end{cases}$解得$0＜ x＜10$,
从而$0＜ S＜40$.
$\therefore x$的取值范围是$0＜ x＜10$,$S$的取值范围是$0＜ S＜40$.
(3)在$S=-4x+40$中,当$S=12$时,$-4x+40=12$,解
得$x=7$,从而$y=10-x=3$.
$\therefore P$点的坐标为$(7,3)$.
