10.(2025·新乡期末)若$y＞0$,则二次根式$\sqrt{-81x^{3}y^{3}}$化为最简二次根式为
$-9xy\sqrt{-xy}$
.
答案：10.$-9xy\sqrt{-xy}$
11.(2025·静安区期末)如果 $\sqrt{a^{2}b-2ab^{2}+b^{3}}=(b-a)\sqrt{b}$,则a,b应满足
$b≥ a$且$b≥0$
.
答案：11.$b≥ a$且$b≥0$
12.(2025·衡阳期中)化简:
(1)$\sqrt{5}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}÷2\sqrt{5}$;
(2)$\sqrt{1\frac{3}{5}}×2\sqrt{3}×(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$;
(3)$x\sqrt{xy^{2}}÷(-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}})· \frac{1}{2}\sqrt{x^{4}y}$;
(4)$\frac{n}{m}\sqrt{\frac{1}{2m^{3}}}· (-\frac{1}{m}\sqrt{\frac{n^{3}}{m^{3}}})÷\sqrt{\frac{n}{2m^{3}}}$.
答案：12.解:(1)原式$=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=(\sqrt{2})^{2}=2$.
(2)原式$=2×(-\frac{1}{2})\sqrt{\frac{8}{5}×3×10}=-\sqrt{48}=-4\sqrt{3}$.
(3)原式$=x÷(-\frac{2}{3})×\frac{1}{2}\sqrt{xy^{2}÷\frac{x}{y}· x^{4}y}=x·(-\frac{3}{2})×\frac{1}{2}\sqrt{xy^{2}·\frac{y}{x}· x^{4}y}=-\frac{3x}{4}\sqrt{x^{4}y^{4}}=-\frac{3}{4}x^{3}y^{2}$.
(4)原式$=\frac{n}{m}·(-\frac{1}{m})\sqrt{\frac{1}{2m^{3}}·\frac{n^{3}}{m^{3}}÷\frac{n}{2m^{3}}}=-\frac{n}{m^{2}}·\sqrt{\frac{1}{2m^{3}}·\frac{n^{3}}{m^{3}}·\frac{2m^{3}}{n}}=-\frac{n}{m^{2}}\sqrt{\frac{n^{2}}{m^{3}}}=-\frac{n^{2}}{m^{4}}\sqrt{m}$.
13.(2025·芜湖期中)阅读下面的化简过程,仿做后面的各小题:
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3-2\sqrt{6}+2}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
化简:(1)$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$;
(2)$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$;
(3)$\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
答案：13.解:(1)原式$=\sqrt{5+2\sqrt{15}+3}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
(2)原式$=\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}$.
(3)原式$=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
14.老师在复习"二次根式"时,在黑板上写出下面的一道题作为练习:
已知$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,用含a,b的代数式表示$\sqrt{4.9}$.
小豪、小麦两位同学跑上讲台,写出了下面两种解法.
小豪:$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\frac{\sqrt{7×70}}{10}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}$.
小麦:$\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}$.
因为$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$,所以$\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\frac{7a}{b}$.
老师看罢,提出下面的问题:
(1)两位同学的解法都正确吗?
(2)请你说明理由.
答案：14.解:(1)两位同学的解法都正确.
(2)观察两位同学的解答过程可知,都符合二次根式的运算法则,所得结果可相互转换,
$\frac{ab}{10}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{70×\sqrt{7}}{10×\sqrt{70}}=\frac{7×\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{7a}{b}$,
$\therefore$两位同学的解法都正确.
