2026年启东中学作业本七年级数学上册江苏版第194页解析答案——零五网—

26.(10分)已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,连接DE,将△ADE沿DE翻折,使得点A落在点F处.
(1)如图①,若∠FEB=52°,则∠DEF=

°.
(2)连接CE,将△BCE沿CE翻折,使得点B落在点G处.
①如图②,当EG在∠DEF外部,且∠FEG=16°时,求∠DEC的度数;
②如图③,当EG在∠DEF内部时,试猜想∠FEG与∠DEC之间的数量关系,并说明理由.

答案：26.(1)64
(2)解:①由折叠的性质,可得$∠DEA=∠DEF$,$∠BEC=∠CEG$.
因为$∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG+∠FEG=180°$,
所以$∠DEF+∠CEG=\dfrac{1}{2}(180°-∠FEG)=82°$,
所以$∠DEC=∠DEF+∠CEG+∠FEG=82°+16°=98°$.
②$∠DEC+\dfrac{1}{2}∠FEG=90°$.理由如下:
由折叠的性质,可得$∠DEA=∠DEF$,$∠BEC=∠CEG$.
因为$∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG-∠FEG=180°$,
所以$2(∠DEF+∠CEG)-∠FEG=180°$,
所以$2∠DEC+∠FEG=180°$,
所以$∠DEC+\dfrac{1}{2}∠FEG=90°$.

解析：

【分析】
(1) 首先利用折叠的性质可得折叠前后对应角相等，即$∠ AED=∠ DEF$，再结合点A、E、B共线构成平角$180°$，已知$∠ FEB$的度数，用平角减去$∠ FEB$得到$∠ AED$与$∠ DEF$的和，再平分即可求出$∠ DEF$的度数。
(2) ①两次折叠对应两组相等的角：$∠ DEA=∠ DEF$，$∠ BEC=∠ CEG$，观察平角$∠ AEB=180°$的构成，可列出包含已知$∠ FEG$的角度和等式，代入等角关系求出$∠ DEF+∠ CEG$的度数，再结合$∠ DEC$的组成即可求解。
②当EG在$∠ DEF$内部时，$∠ FEG$被重复计算了一次，因此平角的角度和等式中需要减去$∠ FEG$，再结合折叠的等角关系对式子变形，即可推导出$∠ FEG$和$∠ DEC$的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质得$∠ AED=∠ DEF$，
$\because ∠ AEB=180°$，$∠ FEB=52°$，
$\therefore ∠ AED+∠ DEF=180°-∠ FEB=128°$，
$\therefore ∠ DEF=128°÷2=64°$。
(2) ①由折叠的性质，可得$∠ DEA=∠ DEF$，$∠ BEC=∠ CEG$。
$\because ∠ DEA+∠ DEF+∠ BEC+∠ CEG+∠ FEG=180°$，$∠ FEG=16°$，
$\therefore 2(∠ DEF+∠ CEG)=180°-16°=164°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ CEG=82°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ DEF+∠ CEG+∠ FEG=82°+16°=98°$。
②猜想$\boldsymbol{∠DEC+\dfrac{1}{2}∠FEG=90°}$，理由如下：
由折叠的性质，可得$∠ DEA=∠ DEF$，$∠ BEC=∠ CEG$。
$\because$EG在$∠ DEF$内部，$∠ DEA+∠ DEF+∠ BEC+∠ CEG-∠ FEG=180°$，
$\therefore 2(∠ DEF+∠ CEG)-∠ FEG=180°$，
又$\because ∠ DEC=∠ DEF+∠ CEG-∠ FEG$，即$∠ DEF+∠ CEG=∠ DEC+∠ FEG$，
代入上式得$2(∠ DEC+∠ FEG)-∠ FEG=180°$，
整理得$2∠ DEC+∠ FEG=180°$，即$∠DEC+\dfrac{1}{2}∠FEG=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$
(2) ①$\boldsymbol{98°}$；②$\boldsymbol{∠DEC+\dfrac{1}{2}∠FEG=90°}$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度和差计算
【点评】
本题以长方形折叠为载体，考查折叠变换中角的等量关系，需要根据角的位置区分重叠部分的加减规则，能够有效锻炼几何逻辑推导能力，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.6

27.(10分)在生活中,密码的应用随处可见,如电子支付、电子门票等.人类使用密码的历史相当久远,约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述.如今,密码学已成为网络信息安全的核心,密码学的研究使用了越来越多的数学工具.
如表,小明制定了一种密码规则,将26个英文字母a,b,c,…,z依次对应数字1,2,3,…,26.当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字x是偶数时,明文为代数式$\frac{1}{2}x+11$所得数值在表格中对应的英文字母;当数字x是奇数时,明文为代数式$\frac{x+3}{2}$所得数值在表格中对应的英文字母.例如,接收的密文内容为“pty”,英文字母“p”对应的数字16是偶数,则明文数字为$\frac{1}{2}×16+11=19$,对应的英文字母是“s”;英文字母“t”对应的数字20是偶数,则明文数字为$\frac{1}{2}×20+11=21$,对应的英文字母是“u”;英文字母“y”对应的数字25是奇数,则明文数字为$\frac{25+3}{2}=14$,对应的英文字母是“n”,所以密文破译后的明文为“sun”.

根据以上材料,解答下列问题:
(1)密文“jgf”破译成明文为

pen

;
(2)若破译后的明文为“me”,请用英文字母写出应该传输的密文,并说明理由;
(3)是否存在这样的英文字母,在密文中的英文字母与经过破译后的英文字母是同一个,若存在,请找出这样的字母;若不存在,请说明理由.

答案：27.(1)pen
(2)解:dg或wg,理由如下:
因为字母“m”对应的数值为13,由$\dfrac{1}{2}x+11=13$,得$x=4$(符合题意);
由$\dfrac{x+3}{2}=13$,得$x=23$(符合题意),所以密文字母“d”或“w”都对应明文字母“m”;
同理可得,密文字母“g”对应明文字母“e”.
所以应该传输的密文为“dg”或“wg”.
(3)解:存在.
当$x$为偶数时,$\dfrac{1}{2}x+11=x$,解得$x=22$,
所以密文字母“v”经过破译后还是字母“v”.
当$x$为奇数时,$\dfrac{x+3}{2}=x$,解得$x=3$,
所以密文字母“c”经过破译后还是字母“c”.
所以密文字母“v”和“c”经过破译后还是同一个字母.

解析：

【分析】
本题是结合密码破译的新定义题型，解题核心是准确理解密文转明文的规则：①若密文字母对应数字x为偶数，明文数字为$\frac{1}{2}x+11$；②若x为奇数，明文数字为$\frac{x+3}{2}$。各小问思路如下：(1)先找到密文“jgf”各字母对应的数字，判断奇偶后代入对应公式计算明文数字，再转换为字母即可；(2)已知明文反推密文，需先得到明文对应的数字，分密文x为偶数、奇数两种情况列方程求解x，筛选出1~26范围内的解后转换为密文字母，再组合得到密文；(3)假设存在符合要求的字母，即密文对应的x等于明文数字，分x为偶数、奇数两种情况列方程求解，判断解是否符合取值范围即可。
【解析】
(1) 先查询对应数字：j对应10（偶数），g对应7（奇数），f对应6（偶数）。
密文j的明文数字：$\frac{1}{2}×10+11=16$，对应字母p；
密文g的明文数字：$\frac{7+3}{2}=5$，对应字母e；
密文f的明文数字：$\frac{1}{2}×6+11=14$，对应字母n；
因此密文“jgf”破译后明文为pen。
(2) 明文“me”中，m对应数字13，e对应数字5：
① 求对应明文“m”的密文：
若密文x为偶数：列方程$\frac{1}{2}x+11=13$，解得$x=4$，对应字母d，符合要求；
若密文x为奇数：列方程$\frac{x+3}{2}=13$，解得$x=23$，对应字母w，符合要求；
② 求对应明文“e”的密文：
若密文x为偶数：列方程$\frac{1}{2}x+11=5$，解得$x=-12$，不符合1~26的取值范围，舍去；
若密文x为奇数：列方程$\frac{x+3}{2}=5$，解得$x=7$，对应字母g，符合要求；
因此组合可得密文为“dg”或“wg”。
(3) 存在这样的字母，理由如下：
设密文对应数字为x，若密文与明文为同一个字母，则明文计算结果等于x，分两种情况：
当x为偶数时：$\frac{1}{2}x+11=x$，解得$x=22$，对应字母v，符合要求；
当x为奇数时：$\frac{x+3}{2}=x$，解得$x=3$，对应字母c，符合要求；
因此符合要求的字母为c和v。
【答案】
(1) pen
(2) dg或wg
(3) 存在，这样的字母是c和v
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题以生活中的密码应用为背景，贴近实际，既考查了对新规则的阅读理解能力，也考查了一元一次方程的求解和分类讨论的数学思想，解题时需注意分奇偶情况讨论，排除不符合取值范围的解。
【难度系数】
0.7