【分析】
(1)①求长方体内可放入木棒的最大长度，本质是求长方体的体对角线长度：先利用勾股定理计算底面矩形的对角线长度，再将该对角线与长方体的高作为直角边，再次用勾股定理即可求出体对角线，即木棒的最大长度。
②蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程，需将长方体相邻两个面展开为同一平面，根据“两点之间线段最短”，用勾股定理计算A、G两点的线段长度；由于共有3种不同的相邻面展开方式，需分别计算三种情况的线段长度，比较后得到最小值。
(2)圆柱表面的最短路径问题，先将圆柱侧面展开为长方形；因蚂蚁在容器外壁、饭粒在内壁，蚂蚁需先爬到容器上沿再进入内壁，故作点A关于容器上沿的对称点A'，将路径转化为A'到B的线段长度，结合已知条件用勾股定理计算即可得到最短路程。
【解析】
(1)①如答图①
，先计算底面矩形的对角线BD：
在Rt△ABD中，AB=4cm，AD=3cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$
再在Rt△BDF中，BF为长方体的高12cm，由勾股定理得体对角线：
$DF=\sqrt{BD^2+BF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$
②分三种展开情况计算AG的长度：
情况1：蚂蚁经过左侧面和上面，展开如答图②
，直角边分别为$(4+12)\mathrm{cm}$和$3\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{265}(\mathrm{cm})$
情况2：蚂蚁经过正面和上面，展开如答图③
，直角边分别为$(3+12)\mathrm{cm}$和$4\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{241}(\mathrm{cm})$
情况3：蚂蚁经过正面和右侧面，展开如答图④
，直角边分别为$(3+4)\mathrm{cm}$和$12\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(3+4)^2+12^2}=\sqrt{193}(\mathrm{cm})$
比较得$\sqrt{265}＞\sqrt{241}＞\sqrt{193}$，因此最短路程为$\sqrt{193}\ \mathrm{cm}$。
(2)如答图⑤
，将圆柱侧面展开为长方形，作点A关于容器上沿EF的对称点$A'$，此时$A'B$的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
由题意得：圆柱底面周长为12cm，A、B相对，因此水平距离$A'D=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$；
竖直方向：B离底部5cm，A离上沿1cm，因此竖直距离$BD=12-5+1=8(\mathrm{cm})$
在Rt△A'DB中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)①$\boxed{13\ \mathrm{cm}}$；②$\boxed{\sqrt{193}\ \mathrm{cm}}$；(2)$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，核心运用了“化立体为平面、化曲为直”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面内两点间线段最短问题，再结合勾股定理计算求解。解题时需注意长方体展开的分类讨论，以及圆柱内外壁路径的对称转化，避免漏解。
【难度系数】
0.6
