26（10分）根据以下素材，完成任务.
不同进位制的数之间的转换
素材1
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢八进一就是八进制.也就是说，“逢几进一”就是“几进制”，“几进制”的基数就是“几”.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：$(1011)_2$就是二进制的简单写法.十进制数一般不标注基数.
素材2
在数学中，规定除了零，任何数的零次幂都为1，即$a^0=1(a≠0)$，如$2^0=1$.由此，一个数可以表示成各个数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如$9527=9000+500+20+7=9×10^3+5×10^2+2×10^1+7×10^0$，$(10101)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$.
素材3
不同进位制的数之间可以相互转换（一般情况下，数的首位不为0）.下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明.
（1）二进制数转换成十进制数.例如：
$(10101)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=16+0+4+0+1=21$，
所以$(10101)_2$转换成十进制数为21，即$(10101)_2=21$.
（2）十进制数转换成二进制数.例如：
$39=32+4+2+1=1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$，
所以39转换成二进制数是$(100111)_2$，即$39=(100111)_2$.
完成任务
任务一
（1）二进制数$(101)_2$转换成十进制数为
5
；
（2）十进制数7转换成二进制数为(
111
)$_2$.
任务二
已知$a$是大于3的正整数，则
（1）将$(1323)_a$转换成十进制数为
$a^3+3a^2+2a+3$
（用含$a$的式子表示）；
（2）如果十进制数$k=a^3+3a^2+1$，那么$k=($
1301
$)_a$.
任务三
（1）若$(mm4)_5+(nn2)_4=126$，求$(m8)_9+(n5)_6$转换成的十进制数；
（2）若$(mm4)_5-(nn2)_4=62$，求$(m8)_9+(n5)_6$转换成的十进制数.
答案：26. 任务一:(1) 5 【解析】因为$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$,所以$(101)_2$转换成十进制数为5. (2) 111 【解析】因为$7=1×2^2+1×2^1+1×2^0$,所以7的二进制数为$(111)_2$. 任务二:(1) $a^3+3a^2+2a+3$ 【解析】$(1323)_a=1×a^3+3×a^2+2×a^1+3×a^0=a^3+3a^2+2a+3$. (2) 1301 【解析】$k=a^3+3a^2+1=1×a^3+3×a^2+0×a^1+1×a^0=(1301)_a$. 任务三:(1) 因为$(mm4)_5+(nn2)_4=126$,所以$m×5^2+m×5^1+4×5^0+n×4^2+n×4^1+2×4^0=126$. 所以$30m+4+20n+2=126$,即$30m+20n=120$. 所以$3m+2n=12$. 因为$m$是五进制数,$n$是四进制数,且$m,n$均为首位上的数,所以$0＜m≤4$,$0＜n≤3$,且$m,n$均为整数. 所以$m=2,n=3$. 所以$(m8)_9+(n5)_6=(28)_9+(35)_6=(2×9^1+8×9^0)+(3×6^1+5×6^0)=26+23=49$. 所以$(m8)_9+(n5)_6$转换成的十进制数为49 (2) 因为$(mm4)_5-(nn2)_4=62$,所以$m×5^2+m×5^1+4×5^0-(n×4^2+n×4^1+2×4^0)=62$. 所以$25m+5m+4-(16n+4n+2)=62$,即$30m-20n+4-2=62$. 所以$3m-2n=6$. 因为$0＜m≤4$,$0＜n≤3$,且$m,n$均为整数,所以$m=4,n=3$. 所以$(m8)_9+(n5)_6=(48)_9+(35)_6=(4×9^1+8×9^0)+(3×6^1+5×6^0)=44+23=67$. 所以$(m8)_9+(n5)_6$转换成的十进制数为67
解析：
【分析】
本题是基于新定义的进位制转换的应用型题目，解题时首先需读懂材料给出的进制转换规则：①k进制数转十进制数，只需将每个数位上的数字乘k的对应次幂（从右往左次幂从0开始递增）再相加；②十进制数转k进制数，只需将数拆成k的各次幂的乘加形式，对应系数就是各数位的数字。具体解题时：任务一直接套用二进制与十进制转换规则计算；任务二将规则推广到a进制，按要求展开或整理即可；任务三先将等式两边的不同进制数统一转为十进制，列出关于m、n的方程，再结合进制的数位取值限制（五进制数位数字≤4，四进制数位数字≤3，首位不为0）求出m、n的整数解，最后代入所求式子转为十进制计算即可。
【解析】
任务一
(1) 根据二进制转十进制规则计算：
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
(2) 把7拆分为2的幂的和：
$7=4+2+1=1×2^2+1×2^1+1×2^0$，对应二进制数为$(111)_2$
任务二
(1) 按照a进制转十进制的规则展开：
$(1323)_a=1×a^3+3×a^2+2×a^1+3×a^0=a^3+3a^2+2a+3$
(2) 把k整理为a的幂的乘加形式：
$k=a^3+3a^2+1=1×a^3+3×a^2+0×a^1+1×a^0$，对应a进制数为$(1301)_a$
任务三
(1) 先将等式左边的数转为十进制：
$(mm4)_5=m×5^2+m×5^1+4×5^0=30m+4$
$(nn2)_4=n×4^2+n×4^1+2×4^0=20n+2$
代入等式得$30m+4+20n+2=126$，化简为$3m+2n=12$
结合数位限制：五进制首位$0＜m≤4$，四进制首位$0＜n≤3$，且m、n为正整数，得唯一解$m=2,n=3$
再将所求式子转为十进制计算：
$(28)_9=2×9+8=26$，$(35)_6=3×6+5=23$，相加得$26+23=49$
(2) 同理先转十进制列方程：
$30m+4-(20n+2)=62$，化简为$3m-2n=6$
结合$0＜m≤4$，$0＜n≤3$，得唯一正整数解$m=4,n=3$
计算所求式子的十进制结果：
$(48)_9=4×9+8=44$，$(35)_6=23$，相加得$44+23=67$
【答案】
任务一：(1) 5；(2) 111
任务二：(1) $a^3+3a^2+2a+3$；(2) 1301
任务三：(1) 49；(2) 67
【知识点】
进位制转换，代数式运算，二元一次方程整数解
【点评】
本题属于新定义阅读理解题，需要先准确理解材料给出的进位制转换规则，再灵活运用规则完成不同进制数的转换、方程建立与参数求解，既考查信息提取与迁移应用能力，也考查代数运算和整数解的分析能力，解题时需注意不同进制下数位的取值限制，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
