10 当$x=$
1
时，$3(x-3)$的值与$2(2+x)$的值互为相反数。
答案：1
解析：
【分析】
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加的和为0。题目中两个代数式互为相反数，因此可以先列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，就能得到x的取值。
【解析】
∵ 互为相反数的两个数之和为0，且$3(x-3)$与$2(2+x)$互为相反数
∴ 可列方程：$3(x-3) + 2(2+x) = 0$
去括号得：$3x - 9 + 4 + 2x = 0$
合并同类项得：$5x - 5 = 0$
移项得：$5x = 5$
系数化为1得：$x = 1$
【答案】
1
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用相反数的性质建立等量关系列出方程，只要熟练掌握相关基础概念和一元一次方程的解法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
11 已知关于 x 的一元一次方程 2(x - 1) + 3a = 3 的解为 x = 4 ，则 a 的值是___________ 。
答案：−1
解析：
【分析】
本题是已知一元一次方程的解求参数的问题，解题核心是利用一元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们只需将已知的解x=4代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到a的值。
【解析】
∵ x=4是方程2(x - 1) + 3a = 3的解
∴ 将x=4代入原方程，等式成立，即：
$2×(4 - 1) + 3a = 3$
先计算括号内的运算：$2×3 + 3a = 3$
计算乘法得：$6 + 3a = 3$
移项得：$3a = 3 - 6$
合并同类项得：$3a = -3$
系数化为1得：$a = -1$
【答案】
−1
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察方程解的应用，掌握“将方程的解代入原方程转化为关于参数的方程求解”这一方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12 方程$\frac{x}{0.3} - \frac{2x}{0.7} = 0.1$可变形为$\frac{10x}{3} - \frac{20x}{7} = \_\_\_\_\_\_$.
答案：$\frac{1}{10}$
解析：
【分析】
本题考查分数基本性质的应用，解题思路如下：首先明确将分母为小数的分数化为整数分母的分数时，依据的是分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数的大小不变。左边两个分数分别分子分母同乘10化简后，左边整体的数值不变，因此等式右边的数值保持原方程的0.1不变，将0.1转化为分数即可得到结果。
【解析】
根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。
1. 化简左边第一个分数：$\frac{x}{0.3}=\frac{x×10}{0.3×10}=\frac{10x}{3}$，分数值未发生改变；
2. 化简左边第二个分数：$\frac{2x}{0.7}=\frac{2x×10}{0.7×10}=\frac{20x}{7}$，分数值也未发生改变；
3. 由于左边变形后整体数值和原方程左边相等，因此等式右边的数值与原方程右边一致，原方程右边为$0.1=\frac{1}{10}$。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
分数的基本性质、小数与分数的互化
【点评】
本题的易错点是混淆分数的基本性质和等式的性质，错误地将等式两边同时乘10得到右边为1，要注意本题仅对左边的分数自身进行化简，没有对等式整体做同乘运算，因此右边的数值保持不变。
【难度系数】
0.8
13 已知$|n+2|+(5m-3)^2=0$，则关于$x$的方程$10mx+4=3x+n$的解是________.
答案：$x=-2$
解析：
【分析】
解题时首先要利用绝对值和平方的非负性求出参数m、n的值，再代入方程解一元一次方程即可。我们知道任意数的绝对值、平方都大于等于0，两个非负数的和为0时，两个非负数必须都为0，据此先列等式求m、n；再把m、n代入方程，按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解x。
【解析】
解：
∵$|n+2|≥0$，$(5m-3)^2≥0$，且$|n+2|+(5m-3)^2=0$
∴$n+2=0$，$5m-3=0$
解得：$n=-2$，$m=\frac{3}{5}$
将$m=\frac{3}{5}$，$n=-2$代入方程$10mx+4=3x+n$，得：
$10×\frac{3}{5}x + 4 = 3x + (-2)$
化简得：$6x + 4 = 3x - 2$
移项得：$6x - 3x = -2 - 4$
合并同类项得：$3x = -6$
系数化为1得：$x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
非负数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心是先利用非负数的性质求出未知参数，再代入方程求解，主要考察基础运算能力。
【难度系数】
0.8
14 为全面提升学生的安全防范意识与应急处理能力，筑牢校园安全防线，某中学组织安全意识知识竞赛，共20题，评分规则是答对一题得10分，答错或不答一题扣5分.芳芳所在的小组得了110分，则他们答对了________题.
答案：14
解析：
【分析】
这是一道积分类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步设答对的题数为未知数，用总题数减去答对题数表示答错或不答的题数；第二步根据“答对总得分减去答错或不答的总扣分等于最终得分”的等量关系列方程；第三步解方程得到答对的题数。
【解析】
解：设他们答对了$x$题，则答错或不答的题数为$(20-x)$题。
根据评分规则和最终得分列方程：
$10x - 5(20-x) = 110$
展开括号得：$10x - 100 + 5x = 110$
合并同类项得：$15x - 100 = 110$
移项计算得：$15x = 210$
系数化为1得：$x = 14$
【答案】
14
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 积分问题计算
【点评】
本题属于常见的实际应用题型，解题核心是找准得分、扣分与最终得分之间的等量关系，列方程时注意扣分项的运算符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
15 如图,一个数从A,B,C三个位置中任选一个位置出发按逆时针方向前进一步,按照通道内标注的要求进行运算到下一个位置.例如:将3按照B→C→A→B的顺序进行运算,即3经过“乘(-3)”,再“加m”,再“减1”的运算得出结果$m-10$.若某数$x$从C处出发,按照$C→A→B→C$的顺序进行循环运算,且每次循环执行运算的结果都相同,则$x$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$（用含$m$的代数式表示）.
答案：$\frac{3-3m}{4}$
【解析】由题意,可得 C→A:x+m;A→B:(x+m)-1;B→C:[(x+m)-1]×(-3).因为从 C 处出发进行循环运算,且每次循环执行运算的结果都相同,所以$[(x+m)-1]×(-3)=x$,整理,得$-4x=3m-3$,解得$x=\frac{3-3m}{4}$.
解析：
【分析】
解题时首先要明确运算路径的规则，从C出发按C→A→B→C的顺序运算，首先依次写出每一步运算后的代数式：第一步C到A是初始值x加m，第二步A到B是上一步的结果减1，第三步B到C是上一步的结果乘(-3)。题目要求每次循环运算结果相同，意思就是经过这三步运算回到C后的结果等于初始的x，据此列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到x的表达式。
【解析】
根据题意，按C→A→B→C的顺序运算：
1. C→A：运算结果为 $x + m$；
2. A→B：运算结果为 $(x + m) - 1 = x + m - 1$；
3. B→C：运算结果为 $(x + m - 1) × (-3)$。
因为每次循环执行运算的结果都相同，即循环一次回到C后的结果等于初始值x，因此列方程：
$-3(x + m - 1) = x$
展开左边得：$-3x - 3m + 3 = x$
移项得：$-3x - x = 3m - 3$
合并同类项得：$-4x = 3m - 3$
系数化为1得：$x = \frac{3 - 3m}{4}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{3-3m}{4}}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程求解；自定义运算理解
【点评】
本题结合自定义的三角形路径运算规则，考查了代数式的书写和一元一次方程的应用，解题的核心是正确理解“循环运算结果相同”的含义，准确列出对应方程求解，能较好地考查学生的读题理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
16 已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac{x}{2026} - 2025 = m $ 的解为 $ x = 1012 $，则关于 $ y $ 的一元一次方程 $ \frac{y - 6}{2026} - 2025 = m $ 的解为 ______。
答案：$y=1018$
解析：
【分析】
我们可以先观察两个方程的结构，发现它们的形式高度相似：等号左边都是“一个数除以2026再减2025”，等号右边都是m。有两种解题思路：第一种是先把第一个方程的解x=1012代入，求出m的值，再代入第二个方程解y；第二种更简便，把第二个方程里的(y-6)看作整体，这个整体的位置和第一个方程里x的位置完全相同，直接得出y-6=x=1012，就能快速算出y的值。
【解析】
方法一（整体代换法）：
观察两个一元一次方程的结构，可知第二个方程中(y-6)的地位与第一个方程中x的地位完全相同。
已知第一个方程的解为x=1012，因此可得：
$y - 6 = 1012$
移项得：$y = 1012 + 6 = 1018$
方法二（代入求m法）：
先把x=1012代入第一个方程$\frac{x}{2026} - 2025 = m$，得：
$m = \frac{1012}{2026} - 2025$
再把m代入第二个方程$\frac{y - 6}{2026} - 2025 = m$，得：
$\frac{y - 6}{2026} - 2025 = \frac{1012}{2026} - 2025$
两边同时加2025，得：
$\frac{y - 6}{2026} = \frac{1012}{2026}$
两边同时乘2026，得：
$y - 6 = 1012$
解得$y = 1018$
【答案】
$y=1018$
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入法；等式的性质
【点评】
本题侧重考查对一元一次方程解的理解，运用整体代换的思想可以简化计算步骤，提升解题效率，是方程类题型中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
17 如下表,从左到右在每个格子中都填入了一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都等于2025.
$a_1$
$a_2$
$a_3$
$a_4=x+1$
$a_5$
$a_{14}=-4$
$···$
$a_{30}=2x+3$
$···$
则$a_{2026}=$
676
.
答案：676
【解析】因为格子中任意三个相邻格子中所填的整数之和都等于2025,所以$a_1=a_4=a_7=…,a_2=a_5=a_8=…,a_3=a_6=a_9=…$.所以$a_1=a_4=x+1,a_2=a_{14}=-4,a_3=a_{30}=2x+3$,则$x+1+(-4)+2x+3=2025$,解得$x=675$.所以$a_1=676$,$a_3=1353$.所以题表中的数从$a_1$开始按676,-4,1353循环.因为$2026÷3=675……1$,所以$a_{2026}=a_1=676$.
解析：
【分析】
首先根据“任意三个相邻格子中整数之和为2025”的条件推导数列规律：由$a_1+a_2+a_3=2025$，$a_2+a_3+a_4=2025$，利用等式性质可得$a_1=a_4$，同理可推出$a_2=a_5$、$a_3=a_6$，即数列每3个数为一个周期循环。接下来将已知项对应到周期的对应位置：$a_4$对应周期第一个数$a_1$，$a_{14}$除以3余2对应周期第二个数$a_2$，$a_{30}$除以3余0对应周期第三个数$a_3$，再根据三个相邻数和为2025列方程求解$x$，最后计算2026除以3的余数，对应周期内的数即可得到$a_{2026}$的值。
【解析】
∵任意三个相邻格子中所填整数之和都等于2025，
∴$a_1+a_2+a_3 = a_2+a_3+a_4 = 2025$，
两式同时减去$(a_2+a_3)$，可得$a_1=a_4$，
同理可推得：$a_2=a_5=a_8=……$，$a_3=a_6=a_9=……$，即数列以3个数为一个周期循环。
因此：$a_1=a_4=x+1$，
$14÷3=4$余2，故$a_{14}=a_2=-4$，
$30÷3=10$余0，故$a_{30}=a_3=2x+3$，
根据相邻三数和为2025列方程：
$(x+1) + (-4) + (2x+3) = 2025$
化简得$3x=2025$，解得$x=675$。
∴$a_1=675+1=676$，$a_2=-4$，$a_3=2×675+3=1353$，数列按676、-4、1353循环。
又
∵$2026÷3=675$余1，余数为1对应周期的第一个数，
∴$a_{2026}=a_1=676$。
【答案】
676
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程应用，周期问题
【点评】
本题解题关键是先通过相邻三数和相等推导出数列的循环周期，再将已知的指定项对应到周期内的位置，结合方程求出未知数，最后利用周期规律求解目标项，需要注意余数为0时对应周期的最后一个数。
【难度系数】
0.65
18 在长为2 dm、宽为x dm(1＜x＜2)的长方形纸片上，从它的一侧剪去一个以长方形纸片的宽为边长的正方形(第一次操作)；从剩下的长方形纸片的一侧再剪去一个以剩下的长方形纸片的宽为边长的正方形(第二次操作).按此方式，若第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案：1.5或1.2
【解析】第一次操作后剩下纸片的两边长分别是x dm和(2−x)dm,第二次操作后剩下纸片的两边长分别是(2x−2)dm和(2−x)dm.当2x−2＞2−x时,则2−x=(2x−2)−(2−x),解得x=1.5;当2x−2＜2−x时,则(2−x)−(2x−2)=2x−2,解得x=1.2.综上所述,满足题意的x的值为1.5或1.2.
解析：
【分析】
解决本题需要先逐步梳理每次剪拼操作后剩余长方形的边长，再结合第三次操作后剩余为正方形的条件分类讨论求解。首先明确第一次操作后，原长方形剪去以宽x为边长的正方形，剩余长方形的两边分别为x dm和(2-x) dm；第二次操作剪去以此时的宽(2-x)为边长的正方形，剩余两边分别为(2-x) dm和2x-2 dm；由于无法确定2x-2和2-x的大小关系，需分两种情况讨论：根据第三次剪完后剩余为正方形，可知第二次剩余长方形的长减去宽的差等于宽，分别列方程求解，最后验证解是否符合1＜x＜2的范围即可。
【解析】
1. 第一次操作后剩余纸片的边长：
原长方形长2dm、宽xdm，剪去边长为x的正方形后，剩余长方形的两边长分别为x dm和(2-x) dm（1＜x＜2，因此2-x＞0）。
2. 第二次操作后剩余纸片的边长：
第二次剪去以此时的宽(2-x)为边长的正方形，剩余长方形的一边长为(2-x) dm，另一边长为$x-(2-x)=2x-2$ dm。
3. 分情况列方程求解：
情况1：当$2x-2＞2-x$时，第二次剩余长方形的长为$(2x-2)$ dm，宽为$(2-x)$ dm，第三次操作后剩余为正方形，因此：
$2-x=(2x-2)-(2-x)$
解得$x=1.5$，符合$1＜x＜2$的取值范围。
情况2：当$2x-2＜2-x$时，第二次剩余长方形的长为$(2-x)$ dm，宽为$(2x-2)$ dm，第三次操作后剩余为正方形，因此：
$2x-2=(2-x)-(2x-2)$
解得$x=1.2$，符合$1＜x＜2$的取值范围。
【答案】
1.5或1.2
【知识点】
一元一次方程应用，分类讨论思想，图形剪拼问题
【点评】
本题结合图形操作考查方程思想与分类讨论思想，解题核心是准确推导每次操作后剩余图形的边长，注意根据两条边长的大小关系分情况讨论，避免漏解，同时需验证解是否符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共 46 分)
19 (8分)解方程:
(1) $3x - 4(2x + 5) = x + 4$;
(2) $x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{6}$.
答案：(1) $x=-4$ (2) $x=\frac{7}{4}$
解析：
【分析】
本题考查一元一次方程的求解，解题思路遵循一元一次方程的常规解题步骤：
（1）对于带括号的方程，首先利用乘法分配律去括号，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；随后将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
（2）对于含分母的方程，首先找到各分母的最小公倍数，方程两边同乘最小公倍数去掉分母（注意不要漏乘不含分母的整数项），再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
（1）$3x - 4(2x + 5) = x + 4$
第一步：去括号，得
$3x - 8x - 20 = x + 4$
第二步：移项，得
$3x - 8x - x = 4 + 20$
第三步：合并同类项，得
$-6x = 24$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-6$，得
$x = -4$
（2）$x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{6}$
第一步：去分母，两边同时乘以6（分母2和6的最小公倍数），得
$6x - 3(x - 1) = 12 - (x + 2)$
第二步：去括号，得
$6x - 3x + 3 = 12 - x - 2$
第三步：移项，得
$6x - 3x + x = 12 - 2 - 3$
第四步：合并同类项，得
$4x = 7$
第五步：系数化为1，两边同时除以4，得
$x = \frac{7}{4}$
【答案】
（1）$x=-4$；（2）$x=\frac{7}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题的易错点在于去括号时符号处理错误、去分母时漏乘不含分母的项，掌握标准运算步骤、注意细节即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
