11. 内半角模型,定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图(1)所示,若∠COD= $\frac{1}{2}$∠AOB,则∠COD是∠AOB的内半角.
(1)如图(1)所示,已知∠AOB=70°,∠AOC=15°,∠COD是∠AOB的内半角,则∠BOD=
20°
.
(2)如图(2),已知∠AOB=63°,将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0°＜α＜63°)至∠COD,当旋转的角度α为何值时,∠COB是∠AOD的内半角?
(3)已知∠AOB=30°,把一块含有30°角的三角板如图(3)叠放,将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转,如图(4),问:在旋转一周的过程中,射线OA,OB,OC,OD能否构成内半角?若能,请求出旋转的时间;若不能,请说明理由.
视频学模型
答案：11. (1)20° [解析]因为$∠COD$ 是$∠AOB$ 的内半角，
$∠AOB=70°$,所以$∠COD=\frac{1}{2}∠AOB=35°$.
因为$∠AOC=15°$,所以$∠BOD=70°-35°-15°=20°$.
(2)因为$∠AOC=∠BOD=α,∠AOB=63°$，
所以$∠AOD=63°+α,∠BOC=63°-α$.
因为$∠COB$ 是$∠AOD$ 的内半角，
所以$63°+α=2(63°-α)$,所以$α=21°$，
所以当旋转角度$α$ 为$21°$时,$∠COB$ 是$∠AOD$ 的内半角.
(3)能,当旋转的时间为$\frac{10}{3}$ s或30 s或90 s或$\frac{350}{3}$ s时,射线OA,OB,OC,OD能构成内半角. 理由如下：
设按顺时针方向旋转一个角度$α$,旋转的时间为$t$,则$α=3t$.
如图(1)
,当$∠BOC$ 是$∠AOD$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=α$,所以$∠AOD=30°+α$，
所以$\frac{1}{2}(30°+α)=30°-α$,所以$α=10°$,所以$t=\frac{10}{3}$ s；
如图(2)
,当$∠BOC$ 是$∠AOD$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=α$,所以$∠AOD=30°+α,∠BOC=α-30°$，
所以$\frac{1}{2}(30°+α)=α-30°$,所以$α=90°$,所以$t=\frac{90}{3}=30(s)$；
如图(3)
,当$∠AOD$ 是$∠BOC$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=360°-α$，
所以$∠BOC=360°+30°-α,∠AOD=360°-α-30°$，
所以$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=360°-α-30°$，
所以$α=270°$,所以$t=\frac{270}{3}=90(s)$；
如图(4)
,当$∠AOD$ 是$∠BOC$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=360°-α$，
所以$∠BOC=360°+30°-α,∠AOD=30°-(360°-α)$，
所以$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=30°-(360°-α)$，
所以$α=350°$,所以$t=\frac{350}{3}$ s.
综上所述,当旋转的时间为$\frac{10}{3}$ s或30 s或90 s或$\frac{350}{3}$ s时,射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.
