6. 分类讨论思想[问题背景]
已知∠AOC=20°,以O为顶点,OA为一边顺次往外画两个锐角∠AOB和∠BOD,并且∠BOD=2∠AOB,射线OM平分∠BOD,射线ON平分∠BOC.设∠AOB=α(20°＜α＜45°).
(1)如图(1),若∠AON=10°,求α的值.
[问题推广]
(2)如图(2),若OE是∠BOM内的一条射线,且$∠BOE=\frac{3}{4}α -5°,$试说明OE是否平分∠DON.
[拓展提升]
(3)随着∠AOB的变化,探究∠MON -∠AOB -∠AON的大小是否发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.
答案：(1)因为$∠AON=10°$,$∠AOC=20°$,
所以$∠NOC=∠AOC+∠AON=30°$.
因为射线 ON 平分$∠BOC$,所以$∠NOC=∠BON=30°$,
所以$α=∠AOB=∠BON+∠AON=40°$.
(2)射线 OE 平分$∠DON$.理由如下:
因为$∠AOB=α$,$∠AOC=20°$,所以$∠BOC=α+20°$.
因为射线 ON 平分$∠BOC$,
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}α+10°$.
因为 OM 平分$∠BOD$,$∠BOD=2∠AOB=2α$,
所以$∠DOM=∠BOM=∠AOB=α$.
因为$∠BOE=\frac{3}{4}α-5°$,所以$∠MOE=∠BOM-∠BOE=α-(\frac{3}{4}α-5°)=\frac{1}{4}α+5°$,
所以$∠DOE=∠MOE+∠DOM=\frac{1}{4}α+5°+α=\frac{5}{4}α+5°$.
因为$∠NOE=∠BOE+∠BON=\frac{3}{4}α-5°+\frac{1}{2}α+10°=\frac{5}{4}α+5°$,所以$∠DOE=∠NOE$,所以射线 OE 平分$∠DON$.
(3)$∠MON-∠AOB-∠AON$的大小不发生变化,且$∠MON-∠AOB-∠AON$的值为$20°$.
如图
,因为$∠BOD=2∠AOB=2α$,$∠BON=\frac{1}{2}α+10°$,
所以$∠AON=∠AOB-∠BON=α-(\frac{1}{2}α+10°)=\frac{1}{2}α-10°$.
因为 OM 平分$∠BOD$,所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠BOD=∠AOB=α$,
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=α+\frac{1}{2}α+10°=\frac{3}{2}α+10°$,所以$∠MON-∠AOB-∠AON=\frac{3}{2}α+10°-α-(\frac{1}{2}α-10°)=20°$.
故$∠MON-∠AOB-∠AON$的大小不发生变化,$∠MON-∠AOB-∠AON$的值为$20°$.
