4. 数形结合思想 直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD于点O,作射线OE,且OC在∠AOE的内部.(本题所研究的角均小于180°)
(1)①当OE,OF在如图(1)所示位置时,若∠BOD=20°,∠BOE=130°,求∠EOF的度数;
②当OE,OF在如图(2)所示位置时,若OF平分∠BOE,试说明OC平分∠AOE.
(2)若∠AOF=2∠COE,请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系.
答案：4. (1)①因为 OF⊥CD 于点 O,所以∠DOF=90°.
因为∠BOD=20°,所以∠BOF=90°−20°=70°.
因为∠BOE=130°,所以∠EOF=∠BOE−∠BOF=130°−70°=60°.
②因为 OF 平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOF=1/2∠EOB.
因为 OF⊥CD,
所以∠COF=90°,
所以∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°,
所以∠COE=∠AOC,即 OC 平分∠AOE.
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.
理由如下：
当点 E,F 在直线 AB 的同侧时,如图(1)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,所以∠EOF=90°−α,
∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°,所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(2α−90°)−α=270°−3α,所以 3∠AOC+2∠BOE=270°；
当点 E,F 在直线 AB 的异侧时,如图(2)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α,
所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(90°−2α)−α=90°+α,
所以∠AOC+2∠BOE=270°.
综上可知,3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.
