1. (2026·甘肃天水张家川期末)如图,在四边形 DCEF中,A,B分别是线段EF,DF上一点,连接AD,AB.已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)线段AD,CE平行吗?为什么?
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=64°,求∠FAB的度数.
答案：(1)AD//CE.理由如下：
因为∠1=∠BDC,所以AB//CD,所以∠2=∠ADC.
因为∠2+∠3=180°,所以∠ADC+∠3=180°,所以AD//CE.
(2)因为∠1=64°,∠1=∠BDC,所以∠BDC=64°.
因为DA平分∠BDC,所以∠ADC=1/2∠BDC=32°.
因为∠2=∠ADC,所以∠2=32°.
因为CE⊥AE,所以∠E=90°.
因为AD//EC,所以∠FAD=∠E=90°,
所以∠FAB=90°-32°=58°.
2. 如图,在四边形ABCD中,E为AB延长线上一点,F为CD延长线上一点,连接EF,交BC于点G,交AD于点H,若∠1=∠2,∠A=∠C.
(1)试说明:∠E=∠F;
(2)若∠4=60°,求∠ADF的度数.
答案：(1)因为∠1=∠2,∠1=∠3,所以∠2=∠3,
所以BC//AD,所以∠A+∠4=180°.
→两直线平行,同旁内角互补
因为∠A=∠C,所以∠C+∠4=180°,所以CF//EA,
所以∠E=∠F.
(2)因为CF//EA,所以∠ADF=∠A.
因为∠A+∠4=180°,∠4=60°,所以∠ADF=∠A=180°-60°=120°.
3. 如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.试说明:DF//AB.
解:因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠1=∠
2
（
角平分线的定义
）.
又∠E=∠1(已知)，
所以∠E=∠2(
等量代换
)，
所以
AE//BC
（
内错角相等，两直线平行
），
所以∠A+∠ABC=180°(
两直线平行，同旁内角互补
).
因为∠3+∠ABC=180°，
所以∠A=∠3，
所以DF//AB(
同位角相等，两直线平行
).
答案：2 角平分线的定义 等量代换 AE//BC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 同位角相等，两直线平行
[解析]因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠1=∠2(角平分线的定义).
又∠E=∠1(已知),所以∠E=∠2(等量代换),所以AE//BC(内错角相等,两直线平行),
所以∠A+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补),
因为∠3+∠ABC=180°,所以∠A=∠3,
所以DF//AB(同位角相等,两直线平行).
4.
分类讨论思想 如图(1),线段$AB// CD$,P为线段AC上一动点(不与点A,C重合).分别连接BP,DP,过点P在线段AC的右侧作射线PM,使$PM// AB$,作$∠ BPD$的平分线PN.
(1)如图(2),当PM与PN重合时,试说明:$∠ B=∠ D$;
(2)当PM与PN不重合时,直接用等式表示$∠ B,∠ D,∠ MPN$之间的数量关系.
答案：(1)因为PM//AB,AB//CD,所以AB//CD//PM,
所以∠B=∠BPM,∠D=∠DPM.
因为PN为∠BPD的平分线,PM与PN重合,
所以∠BPM=∠DPM,所以∠B=∠D.
(2)∠B,∠D,∠MPN之间的数量关系是2∠MPN=|∠B-∠D|.理由如下:
分两种情况进行讨论:
①当PN在PM上方时,如图(1)所示.
因为PM//AB,AB//CD,所以AB//CD//PM,
所以∠B=∠BPM,∠D=∠DPM.
因为PN为∠BPD的平分线,所以∠BPN=∠DPN.
因为∠BPN=∠BPM-∠MPN=∠B-∠MPN,
∠DPN=∠DPM+∠MPN=∠D+∠MPN,
所以∠B-∠MPN=∠D+∠MPN,
所以2∠MPN=∠B-∠D.
②当PN在PM的下方时,如图(2)所示.
同理可得2∠MPN=∠D-∠B.
综上所述,2∠MPN=|∠B-∠D|.
归纳总结 本题考查了平行线的性质与角平分线的定义,解答本题的关键是准确识图,熟练掌握两直线平行,内错角相等,难点是分类讨论思想在解题中的应用.
