1. (2025·连云港海州区期末)下列说法中,错误的是(
).
A.三角形是边数最少的多边形
B.等边三角形和长方形都是正多边形
C.n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角
D.六边形从一个顶点出发可以画3条对角线,所有的对角线共有9条
答案：B
解析：
逐个分析选项：
1. 选项A：多边形最少有3条边，三角形是三边多边形，是边数最少的多边形，该说法正确。
2. 选项B：正多边形需要同时满足各边相等、各内角相等。等边三角形是正多边形，但长方形的长和宽不一定相等，不满足各边相等的要求，不属于正多边形，该说法错误。
3. 选项C：n边形有n条边、n个顶点、n个内角，每个顶点对应2个互为对顶角的外角，总共有2n个外角，该说法正确。
4. 选项D：六边形从一个顶点出发可画的对角线数为$6-3=3$条，所有对角线总数为$\frac{6×(6-3)}{2}=9$条，该说法正确。
综上，错误的是B。
2.（2026·泰州期末）一个四边形的对角线共有
条.
答案：$\boldsymbol{2}$
解析：
解：四边形共有4个顶点，从任意一个顶点出发，无法向该顶点自身以及它的两个相邻顶点作对角线，因此每个顶点可连出1条对角线。
4个顶点共得到4×1=4条连线，其中每条对角线都被2个不同的顶点各计数了1次，
因此四边形的对角线总条数为4÷2=2。
答案：解：
1个六边形有6条边，a个六边形的总边数为6a，
1个五边形有5条边，b个五边形的总边数为5b，
因此a个六边形，b个五边形共有$\boldsymbol{6a+5b}$条边。
4.（2026·北京人大附中期末）如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长
（填“大”或“小”），其判断依据是
。
答案：解：
小
两点之间，线段最短
5. 新考法 归纳一般结论 如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条.
(1)通过分析，请你说说十边形的对角线有多少条，你能总结出$n$边形的对角线有多少条吗？
(2)应用:10个人聚会，围坐在一个圆桌旁，每不相邻的两个人都握一次手，共握多少次手？
答案：解：
(1) 从n边形的任意一个顶点出发，除该顶点自身以及与它相邻的2个顶点外，剩余$(n-3)$个顶点都可与该顶点连出一条对角线。
n个顶点共可连出$n(n-3)$条线段，由于每条对角线都被2个不同的顶点各计算了1次，因此对角线总条数需要除以2。
由此可得n边形的对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
将$n=10$代入公式，得$\frac{10×(10-3)}{2}=35$，即十边形的对角线有35条。
(2) 10个人围坐在圆桌旁，可对应十边形的10个顶点，每不相邻的两个人握手的次数，就等于对应十边形的对角线数量。
代入上述公式得总握手次数为$\frac{10×(10-3)}{2}=35$。
答：(1) 十边形的对角线有35条，n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条；(2) 共握35次手。
6. 数学文化 认识皮克定理 各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，它的面积$ S = a + \frac{1}{2}b - 1 $（$ a $是多边形内的格点数，$ b $是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克(Pick)定理”。如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积$ S = $
。
答案：$\boldsymbol{5}$
解析：
解：由图可得，多边形内的格点数$a=3$，多边形边界上的格点数$b=6$，
将$a=3$，$b=6$代入公式$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$，
得$S=3+\dfrac{1}{2}×6-1=5$。
最终
7. 教材P194活动2·变式（2026·山东济南商河期末）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是
边形。
答案：$\boldsymbol{八}$
解析：
解：设这个多边形的边数为n。
根据过n边形的一个顶点的所有对角线可将该多边形分成$(n-2)$个三角形的性质，
得 $n - 2 = 6$，
解得 $n = 8$。
所以这个多边形是八边形。
最终
8. 已知从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则$m+n=$
。
答案：$\boldsymbol{15}$
解析：
解：
从n边形的一个顶点出发，可以引$(n-3)$条对角线，这些对角线可以把n边形分成$(n-2)$个三角形。
对于十边形：
$m = 10 - 3 = 7$，
$n = 10 - 2 = 8$，
因此$m + n = 7 + 8 = 15$。
9. 如图所示，将多边形分割成三角形.图(1)中可分割出2个三角形；图(2)中可分割出3个三角形；图(3)中可分割出4个三角形，由此你能猜测出n边形可以分割出
个三角形.
答案：解：观察图形可得：
3边形可分割出$2=3-1$个三角形，
4边形可分割出$3=4-1$个三角形，
5边形可分割出$4=5-1$个三角形，
以此类推，$n$边形可以分割出$\boldsymbol{n-1}$个三角形。
10.如图,将图(1)中的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将图(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…,则图(2025)中的正六边形共有
个.
答案：$\boldsymbol{6073}$
解析：
解：
观察图形可得：
图(1)中正六边形的个数为 $1 = 3×1 - 2$，
图(2)中正六边形的个数为 $4 = 3×2 - 2$，
图(3)中正六边形的个数为 $7 = 3×3 - 2$，
……
由此归纳得到，第$n$个图中正六边形的个数为 $3n-2$。
将$n=2025$代入得：$3×2025 - 2 = 6073$。
