11.在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形.图(1)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形.(1)请你根据上述方法将图(2)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数；(2)试把这一结论推广至n边形.
(第11题)
答案：解：
(1) 按照对应三种方法分割六边形：
① 选取六边形的一个顶点，连接该顶点与其余所有不相邻的顶点，可将六边形分割为4个小三角形；
② 在六边形任意一条边上取一个非顶点的点，连接该点与六边形其余所有顶点，可将六边形分割为5个小三角形；
③ 在六边形内部任取一点，连接该点与六边形的全部6个顶点，可将六边形分割为6个小三角形。
得到的小三角形的个数分别为4个、5个、6个。
(2) 推广至n边形的结论：
① 从n边形的一个顶点出发，连接该点与其余所有不相邻的顶点，可将n边形分割为$(n-2)$个小三角形；
② 在n边形的任意一条边上取一个非顶点的点，连接该点与n边形其余所有顶点，可将n边形分割为$(n-1)$个小三角形；
③ 在n边形内部任取一点，连接该点与n边形的全部顶点，可将n边形分割为$n$个小三角形。
延伸探究提优 挑战自我，激发创新
12. 皮克模型 新考法 规律探究 探索题：
(1)在如图(1)的格点图中，各个多边形的内部都有而且只有1个格点.(相邻两格点的距离为1)
将各个多边形的面积与它四周各边上格点的个数填入下表，你能发现什么规律？
请写出S与x之间的关系式.
(2)在如图(2)所示的格点图中，画出几个多边形，使其内部都有而且只有2个格点，再按第(1)题的做法，你发现此时各个多边形的面积与四周各边上的格点的个数之间又有什么样的关系呢？请写出S与x之间的关系式.
(3)请你继续探索，当格点多边形内部有而且只有n个格点时，猜想S与x有怎么样的关系？
视频学模型
答案：解：
(1) 填写表格如下：
| 多边形序号 | ① | ② | ③ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 多边形面积$S$ | 2 | 3 | 2 | … |
| 多边形边上格点的个数$x$ | 4 | 6 | 4 | … |
可得$S$与$x$的关系式为：$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}x}$。
(2) 画出内部有且只有2个格点的格点多边形，验证计算后可得$S$与$x$的关系式为：$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}x +1}$。
(3) 猜想当格点多边形内部有而且只有$n$个格点时，$S$与$x$的关系式为：$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}x +n -1}$。
