3. 如图，已知$∠ AOB=150°$，$∠ COD=40°$，$∠ COD$在$∠ AOB$的内部绕点$O$任意旋转，若$OE$平分$∠ AOC(∠ AOE＞40°)$，则$2∠ BOE-∠ BOD$的值为$\_\_\_\_\_\_°$。
答案：110 [解析]如图.因为OE平分∠AOC,
所以∠AOE=∠COE.
设∠DOE=x.因为∠COD=40°,
所以∠AOE=∠COE=x+40°,
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=150°−2(x+40°)=70°−2x,
所以2∠BOE−∠BOD=2(70°−2x+40°+x)−(70°−2x+40°)=140°−4x+80°+2x−70°+2x−40°=110°.
拓展3.1 已点O为直线AB上的一点，∠BOC=∠DOE=90°.
(1)如图(1)，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由.
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
(2)如图(2)，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答.
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第(1)题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
（拓展3.1）
答案：(1)①∠COD=∠BOE.理由如下:
因为∠BOC=∠DOE=90°,
所以∠BOC+∠BOD=∠DOE+∠BOD,
即∠COD=∠BOE.
②∠BOD+∠COE=180°.理由如下:
因为∠AOC+∠BOC=180°,∠BOC=90°,
所以∠AOC=180°−∠BOC=90°.
因为∠DOE=90°,∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,
所以∠BOD+∠AOE=180°−90°=90°,
所以∠BOD+∠COE=∠BOD+∠AOE+∠AOC=90°+90°=180°.
(2)①∠COD=∠BOE.理由如下:
因为∠COD+∠BOD=∠BOC=90°=∠DOE=∠BOD+∠BOE,所以∠COD=∠BOE.
②∠BOD+∠COE=180°仍成立.理由如下:
因为∠DOE=∠BOC=90°,
所以∠BOD+∠COE=∠BOD+∠COD+∠DOE=∠BOC+∠DOE=90°+90°=180°.
因此(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立.
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，且OC平分∠AOE，若∠BOF=38°，则∠DOF=
26
°。
答案：26 [解析]因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°.
因为∠BOF=38°,所以∠BOE=90°−38°=52°,
所以∠AOE=180°−∠BOE=180°−52°=128°.
又OC平分∠AOE,
所以∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×128°=64°.
因为∠BOD和∠AOC互为对顶角,
所以∠BOD=∠AOC=64°,
所以∠DOF=∠BOD−∠BOF=64°−38°=26°.
拓展4.1（2026·南京二十九中月考）如图，已知直线AB，CD，EF交于点O，OG⊥CD，∠BOD=36°.
(1)求∠AOG的度数.
(2)若OG是∠AOF的平分线，那么OC是∠AOE的平分线吗？说明你的理由.
答案：(1)因为AB,CD相交于点O,
所以∠AOC=∠BOD=36°.
因为OG⊥CD,所以∠COG=90°,
即∠AOC+∠AOG=90°,
所以∠AOG=90°−∠AOC=90°−36°=54°.
(2)OC是∠AOE的平分线.理由如下:
因为OG是∠AOF的平分线,所以∠AOG=∠GOF.
因为OG⊥CD,所以∠COG=∠DOG=90°,
所以∠COA=∠DOF.
又∠DOF=∠COE,所以∠AOC=∠COE,
所以OC平分∠AOE.
5. 如图，直线a，b被直线c所截，能使$a// b$的条件是(
B
).
A.$∠1=∠2$
B.$∠1=∠3$
C.$∠1+∠3=180°$
D.$∠2+∠3=180°$
（拓展5.1）
答案：B
