12.数学课上,老师给出如下问题:
已知$∠ AOB=90°$,OC是平面内一条射线,
OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,求$∠ DOE$的度数.(本题涉及计算的角均不大于$180°$)
小秦:以下是我的解答过程(部分空缺).
解:如图.因为OC是$∠ DOE$内一条射线,
所以$∠ DOE=∠ DOC+$
∠COE
.
因为OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,
所以$∠ DOC=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$.
因为OC是$∠ AOB$内一条射线,
所以$∠ BOC+$
∠AOC
$=∠ AOB$.
因为$∠ AOB=90°$,
所以$∠ AOC+∠ BOC=90°$,
所以$∠ DOE=$
45°
.
(1)请补全小秦的解答过程;
(2)数学老师说:"小秦的解答并不完整,符合题目要求的图形还有三种."请找出另外三种情况,并解答.
(第12题)
答案：12. (1)$∠ COE$ $\frac{1}{2}∠ AOC$ $∠ COE$ $∠ AOC$ $45°$
(2)延长 $AO$ 至点 $M$, 延长 $BO$ 至点 $N$.
如图(1),当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ BOM$ 内部时,
因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 外一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC - ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC - ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ DOE = 45°$. 同理, 当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ AON$ 内部时, $∠ DOE = 45°$.
如图
,当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ MON$ 内部时.
因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 内一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB = 270°$,
所以 $∠ DOE = 135°$.
综上, $∠ DOE$ 的度数为 $45°$ 或 $135°$.
