6. (2026·淮安盱眙期中)观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:
(1)在④后面的横线上写出相应的等式:
①$1=1^2$;②$1+3=2^2$;③$1+3+5=3^2$;
④
$1+3+5+7=4^2$
;⑤$1+3+5+7+9=5^2$;…;
(2)请写出第n个等式;
(3)利用(2)中的等式,计算$21+23+25+…+99$.
答案：(1)$1+3+5+7=4^2$
(2)因为$1=1^2$,$1+3=2^2$,$1+3+5=3^2$,$1+3+5+7=4^2$,$1+3+5+7+9=5^2$,…,
所以$1+3+\dots+(2n-1)=n^2$.
(3)$21+23+25+\dots+99=(1+3+\dots+99)-(1+3+\dots+19)=50^2-10^2=2400$.
7. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225；
25×25=2×3×100+25=625；
35×35=3×4×100+25=1225；
…
请用含a（a为正整数）的式子表示上述的规律：
$(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25$
.
答案：$(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25$
8. 已知 $1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}=\frac{2^2}{3},2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=\frac{3^2}{4},3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}=\frac{4^2}{5},4+\frac{1}{6}=\frac{25}{6}=\frac{5^2}{6}$。设 $n$ 为正整数，请用关于 $n$ 的等式表示这个规律
$n+\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$
。
答案：$n+\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$
9. (2026·宿迁宿城区期中)观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$；
…
请回答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：$a_5=$
$\frac{1}{9×11}$
=
$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：$a_n=$
$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(n为正整数)；
(3)求$a_1+a_2+…+a_{100}$的值。
答案：(1)$\frac{1}{9×11}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$；$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(3)由上述规律可知，
$a_1+a_2+\dots+a_{100}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}=\frac{100}{201}$.
