11.（2026·四川泸州期中）小王新购买了一套商品房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，其中$b＜a$.请根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
(1)用含$a$，$b$的代数式表示地面总面积.
(2)若$a=5$，$b=3$，铺$1\ \mathrm{m}^2$地砖的平均费用为80元，则铺地砖的总费用为多少元？
答案：11.(1)用含$a,b$的代数式表示地面总面积为$2a+4a+5a+5b+15=(11a+5b+15)\mathrm{m}^2.$
(2)若$a=5,b=3$,铺$1\ \mathrm{m}^2$地砖的平均费用为80元,则总面积=$11×5+5×3+15=85(\mathrm{m}^2)$,费用为$85×80=6800$元.
12. 整体思想 阅读材料:我们知道,$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$,类似地,我们把$(a + b)$看成一个整体,则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$,"整体思想"是一种重要的数学思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用:把$(a - b)^2$看成一个整体,合并$3(a - b)^2 - (a - b)^2 + 7(a - b)^2$,其结果是
$9(a-b)^2$
;
(2)已知$x^2 - 2y = 1$,求$x^2 - 2y + 5$的值.
答案：12.(1)$9(a-b)^2$ [解析]原式=$(3-1+7)(a-b)^2=9(a-b)^2.$
(2)因为$x^2-2y=1$,
所以$x^2-2y+5=1+5=6.$
13. 归纳法（2026·广东广州大学附中期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式$ m $，$ n $按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串$ m $，$ n $，$ n - m $；
第2次操作后得到整式串$ m $，$ n $，$ n - m $，$ -m $；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏。
求该“回头差”游戏第2025次操作后得到的整式串各项之和。
视频学方法
答案：13.第1次操作后得到整式串$m,n,n-m$;
第2次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m$;
第3次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n$;
第4次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n,-n+m$;
第5次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,m$;
第6次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n$;
第7次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m,\dots$;
第2025次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,\dots,m,n,n-m,-m,-n$,共2027个整式.
归纳可得,以上整式串每6次一循环,
每6个整式的整式之和为$m+n+n-m-m-n-n+m=0.$
因为$2027÷6=337······5$,
所以第2025次操作后得到的整式的和为$m+n+n-m-m-n=n-m.$
关键提醒 本题考查的是合并同类项、代数式的规律探究,掌握探究的方法,总结概括规律并灵活运用是解本题的关键.
