9. 已知关于 $ x $ 的方程 $(m-3)x^{|m|-2} + 12n = 0$ 是一元一次方程.
(1)求 $ m $ 的值；
(2)若 $ x=2 $ 是该一元一次方程的解，求 $ n $ 的值.
答案：9.(1)因为关于$x$的方程$(m-3)x^{|m|-2} + 12n = 0$是一元一次方程,所以$|m|-2=1$且$m-3≠0$,
所以$m=-3$.
(2)由(1),得该一元一次方程为$-6x+12n=0$.
因为$x=2$是该方程的解,所以$-12+12n=0$,
所以$n=1$.
10. 能不能从$(a+3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$，为什么？反之，能不能从$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到等式$(a + 3)x = b - 1$，为什么？
答案：10. 当$a=-3$时,从$(a+3)x = b - 1$不能得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$,因为0不能作除数.
从$x = \frac{b - 1}{a + 3}$可以得到等式$(a + 3)x = b - 1$,这是根据等式的基本性质2,从$x = \frac{b - 1}{a + 3}$,可知$a+3≠0$.
11. 新考法 新定义问题（2026·扬州期末）定义:关于$x$的方程$ax - b = 0$与方程$bx - a = 0$($a,b$均为不等于0的常数)互为“伴生方程”,例如:方程$2x - 1 = 0$与方程$x - 2 = 0$互为“伴生方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x - 3 = 0$与方程$3x - c = 0$互为“伴生方程”,则$c =$
2
;
(2)若关于$x$的方程$4x + 3m + 1 = 0$与方程$5x - n + 2 = 0$互为“伴生方程”,求$m,n$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x - b = 0$与其“伴生方程”的解都是整数,求整数$b$的值.
答案：11.(1)2
[解析]因为$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“伴生方程”,所以$c=2$.
(2)将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,
将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
因为$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“伴生方程”,
所以$-3m-1=5$,$n-2=4$,
所以$m=-2$,$n=6$,
所以$m,n$的值分别是$-2$,$6$.
(3)$5x-b=0$的“伴生方程”为$bx-5=0(b≠0)$.
由$5x-b=0$,得$x=\frac{b}{5}$,
当$bx-5=0$时,得$x=\frac{5}{b}$.
因为$5x-b=0$与$bx-5=0$的解均为整数,
所以$\frac{b}{5}$与$\frac{5}{b}$都为整数.
因为$b$也为整数,
所以当$b=5$时,$\frac{b}{5}=1$,$\frac{5}{b}=1$,都为整数;
当$b=-5$时,$\frac{b}{5}=-1$,$\frac{5}{b}=-1$,都为整数.
所以$b$的值为$\pm5$.
12. 方程思想，小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如：化$0.\dot{3}$为分数，解决方法是：设$x=0.\dot{3}$，即$x=0.333···$，将方程两边都乘10，得$10x=3.333···$，即$10x=3+0.333···$。因为$x=0.333···$，所以$10x=3+x$，所以$9x=3$，即$x=\frac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。尝试解决下列各题：
(1)把$0.\dot{1}$化成分数为
$\dfrac{1}{9}$
；
(2)请利用小明的方法，把纯循环小数$0.\ddot{16}$化成分数。
答案：12.(1)$\dfrac{1}{9}$
[解析]设$x=0.\dot{1}$,即$x=0.111···$,
将方程两边都乘10,得$10x=1.111···$,
即$10x=1+0.111···$.
因为$x=0.111···$,所以$10x=1+x$,
所以$9x=1$,即$x=\dfrac{1}{9}$,
所以$0.\dot{1}=\dfrac{1}{9}$.
(2)设$x=0.\ddot{16}$,即$x=0.1616···$,
将方程两边都乘100,得$100x=16.1616···$,
即$100x=16+0.1616···$.
因为$x=0.1616···$,所以$100x=16+x$,
所以$99x=16$,即$x=\dfrac{16}{99}$,所以$0.\ddot{16}=\dfrac{16}{99}$.
