8. (2026·安徽合肥庐阳区期中)已知关于$x$的方程$\frac{2m-1}{3}+1=\frac{x+1}{2}$的解比$2x-(x-2)=4(x+2)$的解小5，求$m$的值.
答案：8. $2x-(x-2)=4(x+2),2x-x+2=4x+8$,
$3x=-6$,解得$x=-2$.
因为关于$x$的方程$\frac{2m-1}{3}+1=\frac{x+1}{2}$的解比$2x-(x-2)=4(x+2)$的解小5，
所以方程$\frac{2m-1}{3}+1=\frac{x+1}{2}$的解为$x=-7$,
将$x=-7$代入,得$\frac{2m-1}{3}+1=\frac{-7+1}{2}$,
解得$m=-\frac{11}{2}$.
9. (2025·福建厦门期末)小玲解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$，去分母时，忘记将方程右边的“−1”乘6，因而求得了方程的解为$x = 2$。请根据上述信息：
(1)求$a$的值；
(2)求方程正确的解。
答案：9. (1)$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$,
去分母,得$2(2x-1)=3(x+a)-6$.
由题意,把$x=2$代入方程$2(2x-1)=3(x+a)-1$,得
$2×(4-1)=3(2+a)-1$,
解得$a=\frac{1}{3}$.
(2)由(1)可知,原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+\frac{1}{3}}{2}-1$,
去分母,得$2(2x-1)=3(x+\frac{1}{3})-6$,
去括号,得$4x-2=3x+1-6$,
移项,得$4x-3x=-6+1+2$,
合并同类项,得$x=-3$.
10. (2025·无锡锡山区天一中学期末)已知关于$x$的方程$\frac{1}{2}(1-x)=k+1$的解与方程$\frac{2}{5}(3x+2)=\frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x-1)$的解互为相反数，求$k$的值.
答案：10. 解方程$\frac{1}{2}(1-x)=k+1$,得$x=-1-2k$.
解方程$\frac{2}{5}(3x+2)=\frac{k}{10}+\frac{3}{2}(x-1)$,得$x=\frac{23-k}{3}$.
根据题意,得$(-1-2k)+\frac{23-k}{3}=0$,
解得$k=\frac{20}{7}$.
11.（2026·苏州工业园区期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”。
例如：方程$2x=4$和$x+2=0$为“和谐方程”。
（1）关于$x$的方程$\frac{x+7}{3}=\frac{5-x}{6}$与方程$7x-3=4x+6$
是
“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“和谐方程”，求$m$的值；
（3）若无论$m$取任何有理数，关于$x$的方程$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$（$a$，$b$为常数）与关于$y$的方程$y+1=2y-2$都是“和谐方程”，求$ab$的值。
答案：11. (1)是 [解析]$\frac{x+7}{3}=\frac{5-x}{6}$,解得$x=-3$,
$7x-3=4x+6$,解得$x=3$.
因为$-3+3=0$,所以$-3$与$3$互为相反数，
因为两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“和谐方程”,所以方程$\frac{x+7}{3}=\frac{5-x}{6}$与方程$7x-3=4x+6$是“和谐方程”.
(2)$3x+m=0$,解得$x=-\frac{m}{3}$,
$4x-2=x+10$,解得$x=4$.
因为$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“和谐方程”，
所以$-\frac{m}{3}+4=0$,解得$m=12$.
(3)$y+1=2y-2$,解得$y=3$.
因为$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$与$y+1=2y-2$是“和谐方程”，
所以方程$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$的解为$x=-3$.
将$x=-3$代入方程$\frac{2x+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$,
得$\frac{2×(-3)+ma}{3}=\frac{b}{2}+m$,
即$(2a-6)m=3b+12$.
因为无论$m$取任何有理数,上式都成立,故$2a-6=0$,
$3b+12=0$,
解得$a=3,b=-4$,所以$ab=3×(-4)=-12$.
