6.（改编自《实验班 初中数学 应用题》）已知甲、乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲、乙两人分别从A，C两处同时相向出发（如图所示），试解答下列问题：
（1）几秒后两人首次相遇？此时他们在哪段跑道上？
（2）首次相遇后，又经过多长时间他们再次相遇？在哪一段跑道上？
（3）他们第10次相遇时，在哪一段跑道上？
（4）若甲、乙两人在首次相遇后，甲、乙两人决定同方向练习跑步，问：甲、乙两人经过多长时间再次相遇？在哪一段跑道上？
答案：6.(1)设x秒后两人首次相遇,
由题意,得$4x+6x=100$,解得$x=10$,
甲跑的路程为$4×10=40$(米).
故10秒后两人首次相遇,此时他们在直道AB上,且距离点B 10米的位置.
(2)设y秒后两人再次相遇,
由题意,得$4y+6y=200$,解得$y=20$,
首次相遇后,甲跑的路程为$4×20=80$(米).
故20秒后两人再次相遇,此时他们在直道CD上,且距离点D 30米的位置.
(3)第1次相遇,总用时10秒;
第2次相遇,总用时$10+20×1=30$(秒);
第3次相遇,总用时$10+20×2=50$(秒);
…;
第10次相遇,总用时$10+20×9=190$(秒).
此时甲跑的圈数为$190×4÷200=3.8$.
因为$200×(3.8-3)=160$(米),
所以此时他们在弯道AD上,且距离点A 40米的位置.
(4)设甲、乙两人经过z秒再次相遇,
由题意,得$6z-4z=200$,解得$z=100$,
故100秒后再次相遇,甲跑的路程为$4×100=400$(米).
故甲在他们第一次相遇后又跑了2圈,此时他们在直道AB上,且距离点B 10米的位置.
思路引导 本题考查的是一元一次方程中的行程问题,解题的关键是理解相遇问题以及找到第10次相遇时用的时间为多少,通过构建数学模型求解.
7. (2026·宿迁宿城区期中)已知数轴上有A,B,C三点,分别表示有理数−26,−10,10,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,设点P移动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示点P到点A和点C的距离:PA=
t
,PC=
36−t
;
(2)点P运动
11或21
秒后到点B的距离为5个单位长度.
(3)当点P运动到点B时,点Q从点A出发,以每秒3个单位长度的速度向点C运动,点Q到达点C后,再立即以同样的速度返回点A,当点Q开始运动后,点Q随点P到达终点而停止运动.请用含t的代数式表示P,Q两点间的距离.
答案：7.(1)t 36−t
[解析]点P表示的数是$-26+t$,
所以$PA=(-26+t)-(-26)=t$,
$PC=10-(-26+t)=36-t$.
(2)11或21
[解析]因为点B表示的数是−10,分情况讨论:
点P在点B左侧:$-10-(-26+t)=5$,解得$t=11$,
点P在点B右侧:$(-26+t)-(-10)=5$,解得$t=21$.
(3)当$16≤ t≤ 24$时,$PQ=t-3(t-16)=-2t+48$,
当$24＜ t≤ 28$时,$PQ=3(t-16)-t=2t-48$,
当$28＜ t≤ 30$时,$PQ=72-3(t-16)-t=120-4t$,
当$30＜ t≤ 36$时,$PQ=t-[72-3(t-16)]=4t-120$.
