24.如图，把一个底面半径是5 cm，高是8 cm的圆柱放在水平桌面上.
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面形状是
圆
；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面形状是
长方形
；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此时的截面面积.
答案：24. (1)圆 (2)长方形
(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时,截得的长方形面积最大,此时截面的面积为$5×2×8=80(\mathrm{cm}^2)$.
解析：
【分析】
我们结合圆柱的结构特征逐一分析三个问题：(1)水平方向截圆柱时，截面和圆柱上下底面平行，截面形状和底面形状一致；(2)竖直方向截圆柱时，截面和圆柱的高平行，截得的图形对边平行且邻边垂直，对应长方形的特征；(3)要得到面积最大的长方形截面，长方形的一边为固定的圆柱高，另一边是底面圆的弦，圆内最长的弦是直径，因此让截面经过上下底面的圆心即可得到最长的底边，进而算出最大面积。
【解析】
(1)水平方向截圆柱，截面与上下底面平行，圆柱底面为圆形，因此所得截面形状是圆；
(2)竖直方向截圆柱，截面与圆柱的高平行，截得的图形上下边为底面圆的弦，左右边为圆柱的高，对边平行且有直角，因此所得截面形状是长方形；
(3)长方形的一边长度等于圆柱的高8cm，是固定值，要让长方形面积最大，需要另一边长度最大，而底面圆中最长的弦是直径。因此截法为：平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心。
此时长方形的另一边长为底面直径：$5× 2=10(\mathrm{cm})$
截面面积：$10× 8=80(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)圆 (2)长方形
(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时,截得的长方形面积最大,此时截面的面积为$5×2×8=80(\mathrm{cm}^2)$。
【知识点】
截几何体，圆柱的特征，长方形面积计算
【点评】
本题考查不同截法下圆柱的截面形状判断，需要结合圆柱的结构特点分析，第三问需明确圆内最长弦为直径才能找到最大面积的截法，侧重考查空间想象能力。
【难度系数】
0.8
25.
整体思想（2026·淮安淮阴区期中）在正方体的八个顶点处各写一个数，使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和。例如，图(1)中，与点A连接的三条棱上的另外三个顶点处，分别写有1,2,3，那么点A处的数等于1+2+3=6。请根据这个规则，解答图(2)中的问题：
(1)①若点A,C,E处分别写2,−5,0，则点F处的数等于
-3
；
②若点A,B,C处分别写3,4,7，则点D处的数等于
-6
；
(2)若点A,C,D处分别写2025,1,23，求E点处的数等于多少？
(3)顶点D,F处的数之间具有什么数量关系，并说明理由。
答案：25. (1)①−3 [解析]因为点A,C,E处分别写2,−5,0,
所以点F处的数=2+(−5)+0=−3.
②−6 [解析]因为点A,B,C处分别写3,4,7,
所以点D处的数=4−3−7=−6.
由点B处的数字等于点A,D,C处的数的和推导
(2)因为A,C,D处分别写2 025,1,23,
设点E,F,G,H处分别写的数为e,f,g,h,
由题意,得$e=h+g+f$①,
$h=2\ 025+23+e$②,
$g=e+23+1$③,$f=2\ 025+1+e$④,
所以②+③+④,得$h+g+f=2×2\ 025+2×23+1×2+3e$,
所以$e=2×2\ 025+2×23+1×2+3e$,解得$e=-2\ 049$,
所以E点处的数为−2 049.
(3)顶点D,F处的数相加和为0(或说成互为相反数).
理由如下:设点A,B,C,D,E,F,G,H处分别写的数为a,b,c,d,e,f,g,h,
由题意,得$d=b+h+g$①,$b=a+d+c$②,
$h=a+e+d$③,$g=c+d+e$④,
$f=e+a+c$⑤,
把②③④代入①,得$d=a+d+c+a+e+d+c+d+e$,
所以$d=2a+3d+2e+2c$,
所以$2a+2d+2e+2c=0$,
所以$a+d+e+c=0$,
所以$d+f=0$,
所以顶点D,F处的数相加和为0.
解析：
【分析】
本题是结合正方体顶点结构的新定义运算题，解题核心是准确理解规则：每个顶点处的数等于和该顶点相连的三条棱的另外三个顶点的数之和。解题思路如下：
1. 第(1)小问属于基础应用：①先确定和点F相邻的三个顶点为A、C、E，直接代入数值相加即可；②先明确点B的数由A、C、D的和得到，变形公式即可求出D的值。
2. 第(2)小问用整体代换思想：设E的数为e，将和E相邻的三个顶点H、G、F的数都用e和已知的A、C、D的数表示，再代入E的运算规则，得到只含e的方程求解，无需单独计算每个未知顶点的数。
3. 第(3)小问探究数量关系：用字母表示所有顶点的数，根据运算规则列等式，通过代入消元推导D和F的数的关系即可。
【解析】
(1)①根据规则，点F处的数等于与它相连的三个顶点A、C、E的数之和，已知A=2，C=-5，E=0，所以$F=2+(-5)+0=-3$。
②根据规则，点B处的数等于与它相连的三个顶点A、D、C的数之和，即$B=A+D+C$，变形得$D=B-A-C$，代入A=3，B=4，C=7，得$D=4-3-7=-6$。
(2)设点E处的数为e，点F、G、H处的数分别为f、g、h，根据题意：
和E相连的三个顶点是F、G、H，因此$e = f + g + h$ ①；
和H相连的三个顶点是A、D、E，因此$h = 2025 + 23 + e$ ②；
和G相连的三个顶点是C、D、E，因此$g = 1 + 23 + e$ ③；
和F相连的三个顶点是A、C、E，因此$f = 2025 + 1 + e$ ④；
将②③④相加得：$h + g + f = 2025 +23 +e +1 +23 +e +2025 +1 +e = 2×2025 + 2×23 + 2×1 + 3e$，
代入①得：$e = 2×2025 + 2×23 + 2×1 + 3e$，
移项合并得：$-2e = 4050 +46 +2 = 4098$，
解得$e = -2049$，即E点处的数为-2049。
(3)D和F处的数互为相反数（即$D+F=0$），理由如下：
设八个顶点A、B、C、D、E、F、G、H处的数分别为a、b、c、d、e、f、g、h，根据题意：
$d = b + g + h$（D的数等于相邻的B、G、H的和）①，
$b = a + d + c$（B的数等于相邻的A、D、C的和）②，
$h = a + e + d$（H的数等于相邻的A、E、D的和）③，
$g = c + d + e$（G的数等于相邻的C、D、E的和）④，
$f = a + c + e$（F的数等于相邻的A、C、E的和）⑤，
将②③④代入①得：$d = (a+d+c) + (c+d+e) + (a+e+d)$，
整理右边得：$d = 2a + 2c + 2e + 3d$，
移项得：$2a + 2c + 2e + 2d = 0$，两边同除以2得：$a + c + e + d = 0$，
结合⑤的$f = a + c + e$，代入得：$f + d = 0$，即D和F处的数相加和为0，互为相反数。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{-3}$；②$\boldsymbol{-6}$
(2)$\boldsymbol{-2049}$
(3)顶点D、F处的数互为相反数（或$D+F=0$）
【知识点】
1. 有理数加减运算
2. 整体代入思想
3. 等式的性质
【点评】
本题结合正方体的顶点结构考查新定义规则的应用，难度梯度设置合理，前两小问侧重对规则的直接理解应用，后两小问侧重考查整体代换思想和逻辑推导能力，解题时无需逐一求解每个未知量，灵活运用整体消元即可快速得出结果。
【难度系数】
0.65
