【分析】
(1) 首先明确长方体共有12条棱，正常将长方体展开为1个完整的平面图形时，需要剪开7条棱（剩余5条棱作为面与面的连接线未被剪开），本题多剪了1条棱，因此剪开的棱总数为正常剪开数加1即可。
(2) 结合长方体展开图的结构特征，图(2)是长方体的一个侧面，只需找到图(1)中可作为该侧面连接位的空缺位置，共有4种符合要求的粘贴位置。
(3) 已知长方体底面是正方形，即长=宽，可设底面边长为$a$，结合长方体棱长总和公式列方程求出底面边长，再根据长方体体积公式计算体积即可。
【解析】
(1) 长方体一共有12条棱，将长方体展开为单个平面展开图需要剪开7条棱，题目中多剪了1条棱，因此总共剪开的棱数为：$7+1=8$（条）。
(2) 根据长方体展开图的面的对应关系，图(2)可粘贴的位置共有4种，如图所示：
(3) 解：因为长方体纸盒底面是正方形，所以长方体的长和宽相等，设底面边长为$a\ \mathrm{cm}$。
长方体棱长总和=4条高的长度+8条底面边的长度，已知高为$5\ \mathrm{cm}$，棱长总和为$108\ \mathrm{cm}$，列方程得：
$4×5 + 8a = 108$
解得：$8a=88$，$a=11$
根据长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数值：
$V=11×11×5=605(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 粘贴的位置有四种情况，如图所示.
(3) 这个长方体纸盒的体积为$\boxed{605\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体展开图、长方体棱长和计算、长方体体积计算
【点评】
本题结合动手操作的探究场景，既考查了立体图形展开图的空间想象能力，也考查了长方体棱长和、体积公式的实际应用，能有效锻炼学生结合立体与平面图形转化解决问题的能力。
【难度系数】
0.7