22.(2026·扬州仪征期末)如图，AB，CD被直线BD所截，且∠1+∠2=180°.
(1)AB与CD平行吗？为什么？
(2)若BC平分∠ABD，∠C=30°，求∠1的度数.
答案：22. (1)AB与CD平行.理由如下：
因为$∠1+∠ABD=180°,∠1+∠2=180°$,
所以$∠ABD=∠2$,所以$AB//CD$.
(2)因为$AB//CD$,所以$∠ABC=∠C=30°$.
因为BC平分$∠ABD$,所以$∠ABD=2∠ABC=60°$,
所以$∠1=180°-∠ABD=120°$.
解析：
【分析】
(1)判断两条直线是否平行可通过角的关系推导，已知∠1+∠2=180°，首先观察到∠1和∠ABD是邻补角，二者也互补，根据同角的补角相等可得到同位角∠ABD=∠2，即可判定两直线平行。
(2)求∠1的度数，先利用第一问得到的AB//CD的结论，根据平行线的性质得到内错角∠ABC=∠C，再结合角平分线的定义求出∠ABD的度数，最后利用∠1和∠ABD的邻补角关系计算∠1的度数即可。
【解析】
(1)AB与CD平行，理由如下：
∵ ∠1+∠ABD=180°（邻补角的定义），∠1+∠2=180°（已知），
∴ ∠ABD=∠2（同角的补角相等），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ AB//CD（已证），
∴ ∠ABC=∠C=30°（两直线平行，内错角相等），
∵ BC平分∠ABD（已知），
∴ ∠ABD=2∠ABC=2×30°=60°（角平分线的定义），
又
∵ ∠1+∠ABD=180°（邻补角的定义），
∴ ∠1=180°-60°=120°。
【答案】
(1)AB与CD平行；(2)∠1=120°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行线判定与性质的综合应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的数量关系，是相交线与平行线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
23.
分类讨论思想，如图，已知射线OB平分∠AOC，∠AOC的余角比∠BOC小42°.
(1)求∠AOB的度数；
(2)过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，请你求出∠COD的度数；
(3)在(2)的条件下，画∠AOD的平分线OE，则∠BOE=
33°或55°
.
答案：23. (1)因为射线OB平分$∠AOC$,所以$∠AOC=2∠BOC$,
设$∠AOB=x$,则$∠AOC=2x$,
由题意,得$90°-2x=x-42°$,解得$x=44°$.
故$∠AOB=44°$.
(2)由(1),得$∠AOB=44°$,所以$∠AOC=88°$.
因为$∠AOC=4∠AOD$,所以$∠AOD=22°$.
①当射线OD在$∠AOC$内部时,
$∠COD=∠AOC-∠AOD=88°-22°=66°$;
②当射线OD在$∠AOC$外部时,
$∠COD=∠AOC+∠AOD=88°+22°=110°$.
故$∠COD$的度数为$66°$或$110°$.
(3)$33°$或$55°$ [解析]因为OE平分$∠AOD$,
所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=11°$.
当射线OD在$∠AOC$内部时,$∠BOE=∠AOB-∠AOE=44°-11°=33°$;
当射线OD在$∠AOC$外部时,$∠BOE=∠AOB+∠AOE=44°+11°=55°$.
故$∠BOE$的度数为$33°$或$55°$.
解析：
【分析】
(1) 先利用角平分线的性质得到∠AOC与∠BOC、∠AOB的数量关系，设∠AOB为未知数，再根据“∠AOC的余角比∠BOC小42°”的等量关系列方程求解即可。
(2) 先由(1)的结论求出∠AOC的度数，进而算出∠AOD的度数；由于射线OD的位置不明确，需分OD在∠AOC内部、OD在∠AOC外部两种情况，分别计算∠COD的度数。
(3) 先根据角平分线的定义求出∠AOE的度数，再对应(2)中两种OD的位置，分别计算∠BOE的度数即可。
【解析】
(1) 因为射线OB平分$∠AOC$，所以$∠AOC=2∠BOC=2∠AOB$，
设$∠AOB=x$，则$∠AOC=2x$，
由题意，得$90°-2x=x-42°$，
解得$x=44°$，即$∠AOB=44°$。
(2) 由(1)得$∠AOB=44°$，所以$∠AOC=2×44°=88°$，
因为$∠AOC=4∠AOD$，所以$∠AOD=88°÷4=22°$。
①当射线OD在$∠AOC$内部时，
$∠COD=∠AOC-∠AOD=88°-22°=66°$；
②当射线OD在$∠AOC$外部时，
$∠COD=∠AOC+∠AOD=88°+22°=110°$。
综上，$∠COD$的度数为$66°$或$110°$。
(3) 因为OE平分$∠AOD$，所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×22°=11°$。
当射线OD在$∠AOC$内部时，$∠BOE=∠AOB-∠AOE=44°-11°=33°$；
当射线OD在$∠AOC$外部时，$∠BOE=∠AOB+∠AOE=44°+11°=55°$。
【答案】
(1) $44°$；(2) $66°$或$110°$；(3) $33°$或$55°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查角的相关计算，结合角平分线、余角的知识点设置问题，解题的核心是注意射线OD位置的不确定性，需分情况讨论避免漏解，能够有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
24.
方程思想，如图，$EF// AD$，$AD// BC$，$CE$平分$∠ BCF$，$∠ DAC=3∠ BCF$，$∠ ACF=20°$.
(1)求$∠ DAC$的度数.
(2)求$∠ FEC$的度数.
(3)当$∠ B$为多少度时，$∠ BAC=3∠ B$？并说明此时$AB$与$AC$的位置关系.
答案：24. (1)因为CE平分$∠BCF$,
所以可设$∠BCE=∠FCE=x$.
因为$∠DAC=3∠BCF$,
所以$∠DAC=6x$.
因为$AD//BC$,所以$∠DAC+∠BCA=180°$,
所以$6x+2x+20°=180°$,所以$x=20°$,
所以$∠DAC=120°$.
(2)因为$EF//AD,AD//BC$,所以$EF//CB$,
所以$∠FEC=∠BCE=20°$.
(3)当$∠B=30°$时,$∠BAC=3∠B$.理由如下：
因为$AD//BC$,所以$∠DAB=∠B$.
又$∠BAC=3∠B$,所以$∠DAC=∠DAB+∠BAC=4∠B=120°$,
所以$∠B=30°$,所以$∠BAC=90°$,所以$AB⊥AC$.
解析：
【分析】
(1) 求解∠DAC的度数时，先根据角平分线的定义，设∠BCE=∠FCE=x，可得∠BCF=2x，结合∠DAC=3∠BCF可表示出∠DAC=6x；再利用AD//BC时同旁内角互补的性质，可知∠DAC+∠ACB=180°，其中∠ACB=∠BCF+∠ACF=2x+20°，代入列方程求解出x后即可得到∠DAC的度数。
(2) 求∠FEC的度数时，先根据平行线的传递性，由EF//AD、AD//BC推出EF//BC，再利用两直线平行内错角相等的性质，可得∠FEC=∠BCE，代入x的数值即可求解。
(3) 寻找满足∠BAC=3∠B的∠B度数时，首先根据AD//BC得∠DAB=∠B，结合∠BAC=3∠B，可得∠DAC=∠DAB+∠BAC=4∠B，代入(1)中求出的∠DAC的度数即可算出∠B，再计算∠BAC的度数即可判断AB和AC的位置关系。
【解析】
(1) 因为CE平分$∠BCF$，
所以可设$∠BCE=∠FCE=x$，则$∠BCF=2x$。
因为$∠DAC=3∠BCF$，
所以$∠DAC=6x$。
因为$AD//BC$，所以$∠DAC+∠BCA=180°$，
又$∠BCA=∠BCF+∠ACF=2x+20°$，
所以$6x+2x+20°=180°$，解得$x=20°$，
所以$∠DAC=6×20°=120°$。
(2) 因为$EF//AD,AD//BC$，根据平行线的传递性可得$EF//CB$，
所以$∠FEC=∠BCE=20°$。
(3) 当$∠B=30°$时，$∠BAC=3∠B$。理由如下：
因为$AD//BC$，所以$∠DAB=∠B$，
又$∠BAC=3∠B$，所以$∠DAC=∠DAB+∠BAC=4∠B=120°$，
解得$∠B=30°$，此时$∠BAC=3×30°=90°$，所以$AB⊥AC$。
【答案】
(1) $∠DAC=120°$
(2) $∠FEC=20°$
(3) 当$∠B=30°$时，$∠BAC=3∠B$，此时$AB⊥AC$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；垂直的判定
【点评】
本题结合方程思想考查平行线性质和角平分线定义的应用，解题的关键是准确梳理各角度之间的数量关系，利用平行线的性质建立等量关系列方程求解，注重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
