26.将一副三角板按照如图(1)所示的位置放置在直线MN上,∠A=∠ACB=45°,∠ABC=∠DCE=90°,∠E=30°,∠CDE=60°.将含45°锐角的三角板ABC固定不动,含30°锐角的三角板DCE绕点C顺时针旋转1周,在此过程中:
(1)如图(2),当点D在△ABC内部时,连接AD.
①若CD平分∠ACB,试问CE是否也平分∠ACN,请说明理由.
②若∠ADE=α,∠BAD=β,∠BCD=γ,试探究α,β,γ这三者之间有什么数量关系,请用一个含α,β,γ的等式来表示,并说明理由.
(2)如图(3),AF是△ABC的角平分线,当DE所在直线与AF所在直线互相垂直时,请直接写出∠BCE的度数.
答案：26. (1)①当 CD 平分 $∠ ACB$ 时,CE 也平分 $∠ ACN$.理由如下：
因为 CD 平分 $∠ ACB$,所以 $∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACB$.因为 $∠ ACD+∠ ACE=90°$,所以 $∠ ACE=90°-∠ ACD=90°-\dfrac{1}{2}∠ ACB=\dfrac{1}{2}(180°-∠ ACB)=\dfrac{1}{2}∠ ACN$,所以 CE 平分 $∠ ACN$.
②$α-β-\gamma=30°$.理由如下：
由题意知,$∠ ADE=α$,$∠ BAD=β$,$∠ BCD=\gamma$,所以 $∠ ADC=α+60°$,$∠ CAD=45°-β$,$∠ ACD=45°-\gamma$.因为 $∠ ADC+∠ CAD+∠ ACD=180°$,所以 $α+60°+45°-β+45°-\gamma=180°$,所以 $α-β-\gamma=30°$.
(2)$∠ BCE=52.5°或127.5°$.
解析：
【分析】
本题围绕三角板旋转展开，结合角的运算、三角形内角和、分类讨论思想考查几何综合能力。
(1)①要判断CE是否平分∠ACN，可结合已知CD平分∠ACB，利用∠DCE=90°、∠BCN为平角的性质，通过等角的余角相等推导∠ACE与∠ECN的数量关系，即可判断。
②要探究α、β、γ的数量关系，可先将△ADC的三个内角分别用α、β、γ表示，再利用三角形内角和为180°列等式，化简即可得到三者的关系。
(2)先根据角平分线定义求出∠CAF的度数，再结合DE⊥AF的条件，分旋转过程中DE垂直AF的两种不同位置情况，分别计算∠BCE的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)①CE平分∠ACN，理由如下：
因为CD平分∠ACB，所以$∠ACD=\dfrac{1}{2}∠ACB$。
因为$∠ACD+∠ACE=90°$，所以$∠ACE=90°-∠ACD=90°-\dfrac{1}{2}∠ACB=\dfrac{1}{2}(180°-∠ACB)=\dfrac{1}{2}∠ACN$，因此CE平分$∠ACN$。
②$α-β-\gamma=30°$，理由如下：
由题意知，$∠ADE=α$，$∠BAD=β$，$∠BCD=\gamma$，所以$∠ADC=α+60°$，$∠CAD=45°-β$，$∠ACD=45°-\gamma$。
因为$∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°$，所以$α+60°+45°-β+45°-\gamma=180°$，整理得$α-β-\gamma=30°$。
(2)因为AF是△ABC的角平分线，所以$∠CAF=\dfrac{1}{2}×45°=22.5°$，结合DE与AF垂直的条件，分两种旋转情况计算，可得$∠BCE=52.5°$或$127.5°$。
【答案】
(1)①CE平分$\boldsymbol{∠ACN}$；②$\boldsymbol{α-β-\gamma=30°}$；(2)$\boldsymbol{∠BCE=52.5°或127.5°}$
【知识点】
角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，旋转的性质
【点评】
本题是三角板旋转的几何综合题，既考查了角的和差运算、角平分线、三角形内角和等基础知识点，也考查了分类讨论思想，解题时要注意旋转过程中存在多种符合条件的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.3
