【分析】
(1) 要证$AD// BC$，可通过判定定理找同旁内角互补的关系：先由已知$∠ CDF+∠ DFE=180°$推出$AE// DC$，再利用平行线性质得到角的互补关系，结合$∠ C=∠ DAE$等量代换，即可得到$AD$和$BC$的平行关系。
(2) 探究三个角的数量关系，可直接利用(1)得到的两组平行线的性质，通过同旁内角互补、同位角相等的结论，消去公共角推导角的关系。
(3) 求$∠ EFG$的表达式，已知$AB// FG$，可过拐点$E$作$EM// AB$，利用平行的传递性得到三条直线平行，再通过平行线的性质将$α$、$β$和$∠ EFG$建立联系，即可得出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ CDF+∠ DFE=180°$，
$\therefore AE// DC$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ AEC+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ C=∠ DAE$，
$\therefore ∠ AEC+∠ DAE=180°$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{∠ DFE=∠ AEB+∠ ADF}$，理由如下：
由(1)得$AD// BC$，$AE// DC$，
$\therefore ∠ DFE+∠ FDC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$∠ ADF+∠ C+∠ FDC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$∠ AEB=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ ADF+∠ AEB+∠ FDC=180°$（等量代换），
$\therefore ∠ DFE=∠ AEB+∠ ADF$（同角的补角相等）。
(3) 解：如图，过点$E$作$EM// AB$。

$\because AB// FG$，
$\therefore AB// EM// FG$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ ABC=∠ MEC=α$（两直线平行，同位角相等），
$∠ MEF+∠ EFG=180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ EFG=180°-∠ MEF$。
又$\because ∠ MEC+∠ MEF+∠ DEF=180°$，
$\therefore ∠ MEC+∠ DEF=180°-∠ MEF=∠ EFG$，
$\because ∠ DEF=β$，
$\therefore ∠ EFG=∠ ABC+∠ DEF=α+β$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $∠ DFE=∠ AEB+∠ ADF$，理由见解析；
(3) $\boxed{α+β}$，辅助线图：
【知识点】
平行线的判定与性质；平行的传递性；辅助线构造
【点评】
本题围绕平行线知识设置梯度问题，既考察了平行线判定、性质的基础掌握情况，也考察了逻辑推理能力、知识迁移能力和辅助线构造能力，结合实际生活场景，综合性较强。
【难度系数】
0.6