2. (2025·苏州相城区期末)“囧”是网络流行语,像一个人脸郁闷的神情,如图所示.一张边长为10的正方形的纸片,剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分).设剪去的小长方形长和宽分别为$x,y$,剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为$x,y$.
(1)用含有$x,y$的代数式表示图中阴影部分“囧”的面积$S$;
(2)若代数式$2S - \frac{1}{2}(2S - 6bxy)$的值与$x,y$无关,求此时$b$的值.

例2 (2025·浙江中考改编)[文化欣赏]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b)^n$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
[应用体验]已知$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,则$m$的值为.

解析 根据题干中所得系数规律得到关于$m$的方程.
因为$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,
所以$mx^3=4x^3×2$,所以$m=8$.
答案 8
点拨 本题考查数字的变化规律,观察所给的杨辉三角,通过计算探索出每行所有数的和的一般规律是解题的关键.

3. 如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间方孔周长为b.
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积.(结果保留π)
(2)当a=4π，b=4时，阴影部分的面积为多少？

新考法

例3 [教材回顾]老课本中有这样一段文字：
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律.
[数学问题]三角形有3个顶点，如果在它的内部再画$n$个点，并以这$(n+3)$个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
[问题探究]为了解决这个问题，我们可以从$n=1,2,3$等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
三角形内点的个数|图形|最多剪出的小三角形个数
---|---|---
1|（图）|3
2||5
3|（两个图）|7
4|…|$a$
…|…|…
[问题解决]
(1)表格中的$a=$；
(2)你发现的变化规律是三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加个；
(3)猜想：当三角形内点的个数为$n$时，最多可以剪得个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律，提出猜想的思想方法称为归纳.
[类比应用]
(1)四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得个小三角形；
(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加个；
(3)当四边形内点的个数为$n$时，最多可以剪得个三角形；
(4)$m$边形内有$n$个点时，最多可以剪得个三角形.
解析 [问题解决]
(1)当三角形内有1个点时，最多剪出的小三角形的个数为$3=1+2×1$；当三角形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$5=1+2×2$；当三角形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$7=1+2×3$；当三角形内有4个点时，最多剪出的小三角形的个数为$1+2×4=9$.
(2)三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当三角形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$1+2n$.
[类比应用]
(1)当四边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$4=2+2×1$；当四边形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$6=2+2×2$；当四边形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$8=2+2×3$.
(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当四边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$2n+2$.
(4)当$m$边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$m=m+2×0$；当$m$边形内有2个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2=m+2×1$；当$m$边形内有3个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+4=m+2×2$；…；当$m$边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2(n-1)=m+2n-2$.
答案 [问题解决](1)9 (2)2 (3)$(2n+1)$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$(2n+2)$
(4)$(m+2n-2)$
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