例3 化简:$3a^2 - 2[2a^2 - (2ab - a^2) + 4ab]$.
解答 原式$=3a^2 - 2(2a^2 - 2ab + a^2 + 4ab)$
$=3a^2 - 4a^2 + 4ab - 2a^2 - 8ab$
$=-3a^2 - 4ab$.
辨析归纳
本题主要考查了整式的加减,关键是注意去括号时符号的变化.
答案：解：
原式$=3a^2 - 2[2a^2 - 2ab + a^2 + 4ab]$
$=3a^2 - 2(3a^2 + 2ab)$
$=3a^2 - 6a^2 - 4ab$
$=-3a^2 - 4ab$
解析：
【分析】
本题属于整式化简题，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的思路：第一步先处理最内层的小括号，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；第二步合并中括号内的同类项，简化中括号内的式子；第三步去中括号，运用乘法分配律时要注意括号前的负系数，既要给括号内每一项乘系数，也要注意符号变化；最后合并所有同类项得到最简结果。
【解析】
解：原式先去小括号，小括号前为负号，括号内各项变号：
$=3a^2 - 2(2a^2 - 2ab + a^2 + 4ab)$
合并中括号内的同类项，$2a^2+a^2=3a^2$，$-2ab+4ab=2ab$，得：
$=3a^2 - 2(3a^2 + 2ab)$
运用乘法分配律去中括号，$-2$分别乘括号内两项：
$=3a^2 - 6a^2 - 4ab$
最后合并同类项，$3a^2-6a^2=-3a^2$，得：
$=-3a^2 - 4ab$
【答案】
$-3a^2 - 4ab$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，易错点在于去括号时符号处理错误，或是运用乘法分配律时漏乘括号内的项，熟练掌握去括号规则和合并同类项方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.（2026·扬州江都区期中）化简：$5(3x^2y - xy^2) - 6(-\dfrac{3}{2}xy^2 + 4x^2y).$
答案：原式$=15x^2y-5xy^2+9xy^2-24x^2y$
$=15x^2y-24x^2y+9xy^2-5xy^2$
$=-9x^2y+4xy^2$.
解析：
【分析】
本题是整式化简类题目，解题思路分为两步：第一步先去括号，去括号时需注意两个要点：一是括号外的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；二是若括号外的因数为负数，去括号后括号内的每一项都要改变符号。第二步合并同类项，先识别出同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
解：先根据去括号法则去掉括号：
原式$=15x^2y-5xy^2+9xy^2-24x^2y$
再利用加法交换律将同类项集中：
$=15x^2y-24x^2y+9xy^2-5xy^2$
最后合并同类项：
$=-9x^2y+4xy^2$
【答案】
$-9x^2y+4xy^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减运算的常规基础题型，核心考查去括号的符号处理、系数分配以及同类项的合并规则，解题时需注意去括号不要漏乘括号内的项、不要搞错项的符号，合并同类项时仅对系数进行运算，字母及对应指数保持不变。
【难度系数】
0.8
例1 小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题：
(1)设小桂出生的月份数为$x$，人口数为$y$，用含$x,y$的代数式表示小桂所说的结果；
(2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份和他家的人口数.
解析 (1)由游戏规则，可列出代数式$5(2x+10)+y$；
(2)根据(1)的结果，整理得$10x+y=73$，根据$x$和$y$的取值范围可判断出它们的取值.
答案 (1)依题意，得$5(2x+10)+y$.
(2)依题意，得$5(2x+10)+y=123$，
整理，得$10x+y=73$.
因为$x$的取值为1到12的整数，$y$的取值为1到9的整数，所以$x=7,y=3$，
故小桂是7月份出生的，他家的人口数为3.
点拨
本题考查了列代数式，根据规则得出方程，
再由未知数的取值范围判断出它们的取值是解题的关键.
答案：(1)依题意，得$5(2x+10)+y$.
(2)依题意，得$5(2x+10)+y=123$，
整理，得$10x+y=73$.
因为$x$的取值为1到12的整数，$y$的取值为1到9的整数，所以$x=7,y=3$，
故小桂是7月份出生的，他家的人口数为3.
解析：
【分析】
(1) 按照小桂描述的运算顺序逐步推导即可得到对应代数式：先将月份数$x$乘2得$2x$，加10后得到$2x+10$，再将这个和乘5得$5(2x+10)$，最后加上家庭人口数$y$，就是最终的结果。
(2) 先将结果123代入(1)得到的代数式列出方程，化简后得到$10x+y=73$。再结合未知数的实际意义确定取值范围：月份$x$是1到12的正整数，人口数$y$是小于10的正整数（即1到9）。由于$10x$的个位数字一定为0，因此$y$就是73的个位数字3，代入即可求出$x=7$，验证两个值均符合取值范围即可。
【解析】
(1) 依题意，按照运算顺序列式：
先算月份数乘2加10：$2x+10$，再将和乘5后加人口数$y$，可得结果为$5(2x+10)+y$。
(2) 已知小桂说的结果为123，因此列方程：
$5(2x+10)+y=123$
展开并整理方程：
$10x+50+y=123$
移项得：$10x+y=73$
根据实际意义，$x$是1~12的正整数，$y$是1~9的正整数。
因为$10x$的个位为0，所以$y=3$，代入得$10x=70$，解得$x=7$，符合二者的取值范围。
【答案】
(1) $5(2x+10)+y$
(2) 小桂是7月份出生的，他家的人口数为3。
【知识点】
列代数式；二元一次方程的整数解
【点评】
本题以趣味猜数游戏为载体，考查了代数式的列式和方程整数解的求解，解题的关键是准确根据运算规则列式，同时结合未知数的实际取值范围推导结果，兼具趣味性和实用性，能很好地锻炼学生的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8
1.（2026·无锡江阴期中）观察下列表格中两个多项式及其相应的值，回答问题：
[初步感知]
（1）根据表中信息可知：$a =$
0
；
$b =$
1
.
[归纳规律]
（2）表中$-2x+4$的值的变化规律：$x$的值每增加1，$-2x+4$的值就减少2.类似地，$3x-5$的值的变化规律：
$x$的值每增加1，$3x-5$的值增加3
.
[问题解决]
（3）请直接写出一个含$x$的多项式，要求$x$的值每增加1，多项式的值就减小5，且当$x=0$时，多项式的值为6.
答案：(1)0 1
[解析]把$x=2$代入$-2x+4$,得$a=-2×2+4=0$;把$x=2$代入$3x-5$,得$b=2×3-5=1$.
(2)$x$的值每增加1,$3x-5$的值增加3.
(3)因为$x$的值每增加1,多项式的值就减小5,所以$x$的系数为$-5$,设这个多项式为$-5x+m$.
因为当$x=0$时,多项式的值为6,所以$6=m$,
所以这个多项式为$-5x+6$.
解析：
【分析】
（1）求a、b的值，只需将x=2分别代入对应的两个多项式计算即可；（2）观察3x-5的数值变化：对比x相邻取值时3x-5的差值，即可总结出变化规律；（3）x每增加1，多项式的值减小5，说明x的系数为-5，再结合x=0时多项式的值为6确定常数项，即可写出所求多项式。
【解析】
（1）当x=2时，代入$-2x+4$得：$a=-2×2+4=0$；
当x=2时，代入$3x-5$得：$b=3×2-5=1$。
（2）观察$3x-5$的取值：x=-2时值为-11，x=-1时值为-8，x=0时值为-5，x=1时值为-2，可见x的值每增加1，$3x-5$的值就增加3。
（3）根据“x的值每增加1，多项式的值就减小5”，可知该多项式x的系数为-5，设该多项式为$-5x+m$；
将x=0，多项式值为6代入得：$m=6$，因此该多项式为$-5x+6$。
【答案】
（1）$0$，$1$；（2）x的值每增加1，$3x-5$的值就增加3；（3）$-5x+6$
【知识点】
代数式求值，一次式变化规律，列代数式
【点评】
本题从具体计算到规律归纳，再到应用规律构造代数式，循序渐进地考查了代数式相关的核心知识，侧重对观察归纳能力和代数应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
