例4 (2025·绥化中考)观察如图，
有2个三角形，记作$a_1=2$；图(2)有3个三角形，记作$a_2=3$；图(3)有6个三角形，记作$a_3=6$；图(4)有11个三角形，记作$a_4=11$；…，按此方法继续下去，则$a_n=$
$(n-1)^2+2$
(结果用含n的代数式表示)。
名师启发 观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可。
答案：$(n-1)^2+2$
[解析]题图(1)有2个三角形,记作$a_1=0^2+2=2$;
题图(2)有3个三角形,记作$a_2=1^2+2=3$;
题图(3)有6个三角形,记作$a_3=2^2+2=6$;
题图(4)有11个三角形,记作$a_4=3^2+2=11$;
…,按此方法继续下去,则$a_n=(n-1)^2+2$.
解析：
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先将已知的每组图形对应的三角形数量与图形序号n对应罗列，再观察每个数量与序号之间的运算关系，验证该运算关系对所有已知项都成立后，即可推导得到通用的含n的代数式。具体可先写出n=1、2、3、4时对应的$a_n$的值，再将每个$a_n$变形为包含n的式子，观察共性总结规律。
【解析】
解：观察已知条件：
当n=1时，$a_1=2$，可变形为$a_1=(1-1)^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2$；
当n=2时，$a_2=3$，可变形为$a_2=(2-1)^2 + 2 = 1^2 + 2 = 3$；
当n=3时，$a_3=6$，可变形为$a_3=(3-1)^2 + 2 = 2^2 + 2 = 6$；
当n=4时，$a_4=11$，可变形为$a_4=(4-1)^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$；
……
由此可归纳得到通用规律：第n个图形的三角形个数$a_n=(n-1)^2 + 2$。
【答案】
$(n-1)^2+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于规律探究类常见题型，解题核心是建立图形序号和对应数量的关联，通过拆分已知项找到通用运算规则，重点考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
例1 对于单项式$\frac{10^3 x^2 y}{7}$，下列说法正确的是(
C
).
A.它是六次单项式
B.它的系数是$\frac{1}{7}$
C.它是三次单项式
D.它的系数是$\frac{10}{7}$
解析 根据单项式的系数、次数的定义进行判断.
答案 C
答案：C
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确单项式系数和次数的核心定义：一是单项式的系数指单项式中的数字因数，所有常数（含整数幂形式的常数）都属于数字部分，不属于字母；二是单项式的次数指单项式中所有字母的指数之和，常数的指数不参与次数计算。接下来先计算该单项式的系数和次数，再逐一核对选项排除错误答案即可。
【解析】
解：根据单项式系数、次数的定义依次判断：
1. 求系数：单项式$\frac{10^3 x^2 y}{7}$的数字因数为$\frac{10^3}{7}=\frac{1000}{7}$，因此它的系数是$\frac{1000}{7}$，可判断B选项（系数为$\frac{1}{7}$）、D选项（系数为$\frac{10}{7}$）均错误。
2. 求次数：单项式中仅字母的指数计入次数，本题含x、y两个字母，x的指数为2，y的指数为1，总次数为$2+1=3$，因此它是三次单项式，可判断A选项（六次单项式）错误，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于单项式相关的基础概念题，解题的关键是区分常数的指数和字母的指数，计算系数时不要遗漏常数部分的数值，避免混淆概念出现失误。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法正确的有(
A
).
①$6x^2 - 3x - 2$的项是$6x^2,3x,2$；
②$\frac{x}{2} - \frac{y}{3}$为多项式；
③多项式$-2x + 4xy$的次数是2；
④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；
⑤单项式$-3π x^2$的系数是$-3$；
⑥0不是整式.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：A
解析：
【分析】
本题考查整式相关的基础概念，解题时需逐一判断每个说法的正误：首先回忆单项式、多项式、整式的定义，以及项、次数、系数的相关概念，再对应每个说法逐一验证，最后统计正确的个数选择对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析6个说法：
①多项式的项包含前面的符号，$6x^2 - 3x - 2$的项是$6x^2、-3x、-2$，故①错误；
②几个单项式的和叫做多项式，$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}$是单项式$\frac{x}{2}$和$-\frac{y}{3}$的和，属于多项式，故②正确；
③多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，$-2x+4xy$中最高次项为$4xy$，次数是$1+1=2$，因此该多项式次数是2，故③正确；
④多项式的次数为3，仅说明最高次项的次数是3，可存在多个次数为3的项，如$x^3+y^3$的次数是3，有两项次数都是3，故④错误；
⑤单项式的系数是单项式中的数字因数，$π$是常数，因此$-3π x^2$的系数是$-3π$，故⑤错误；
⑥整式包含单项式和多项式，单独的数是单项式，因此0是整式，故⑥错误。
综上，正确的说法是②和③，共2个。
【答案】
A
【知识点】
1. 单项式的概念 2. 多项式的概念 3. 整式的定义
【点评】
本题属于整式章节的基础题，核心考查易混淆的基础概念，解题时要特别注意多项式的项需带符号、$π$是常数而非字母、多项式次数为最高次项的次数这些易错点，准确掌握概念即可得分。
【难度系数】
0.7
2.（2026·河北衡水故城期末）下列各式中，次数为3的单项式是（
D
）。
A.$3ab$
B.$a^3b$
C.$a^3+b^3$
D.$5a^2b$
答案：D
解析：
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：第一步先区分单项式和多项式，排除不属于单项式的选项；第二步再根据单项式次数的计算规则，计算剩余单项式的次数，筛选出次数为3的选项即可。首先要明确，只有数与字母的乘积组成的代数式是单项式，几个单项式的和是多项式，先筛掉多项式；其次单项式的次数是所有字母的指数之和，计算时不要算常数的指数，也不要漏加任意字母的指数。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和为多项式。
2. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
逐个分析选项：
A. $3ab$是单项式，字母$a$的指数为1，字母$b$的指数为1，次数为$1+1=2$，不符合要求；
B. $a^3b$是单项式，字母$a$的指数为3，字母$b$的指数为1，次数为$3+1=4$，不符合要求；
C. $a^3+b^3$是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，直接排除；
D. $5a^2b$是单项式，字母$a$的指数为2，字母$b$的指数为1，次数为$2+1=3$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；单项式的次数；多项式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确区分单项式与多项式，同时计算单项式次数时要注意仅统计所有字母的指数和，不要误将常数的指数计入其中。
【难度系数】
0.8
3.（2026·扬州江都区月考）单项式$-\dfrac{2π a^2}{7}$的次数是
2
.
答案：2
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆单项式次数的定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。解题时第一步先识别单项式中的字母和常数，特别注意π是圆周率，属于常数，不是字母，不需要计算它的指数；第二步找到所有字母的指数，相加即可得到单项式的次数。
【解析】
根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
在单项式$-\dfrac{2π a^2}{7}$中，$π$是常数，不属于字母，仅有的字母是$a$，$a$的指数是2，因此该单项式的次数为2。
【答案】
2
【知识点】
单项式的次数；单项式的概念
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易误将$π$当作字母计算次数，解题时牢记$π$是常数，仅统计所有字母的指数和即可。
【难度系数】
0.8
例2 若单项式$5a^3b^m$与$-\dfrac{1}{5}b^{2+n}a^n$是同类项，则$m+n$的值是
8
。
解析 根据同类项的定义先求出$m,n$的值，再代入求值。
答案 8
答案：8
解析：
【分析】
解题的核心是先回忆同类项的定义：同类项要求所含字母完全相同，且相同字母对应的指数也分别相等。观察两个单项式，都只含有字母a和b，我们只需分别对应a、b的指数列等式，即可求出m和n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：根据同类项的定义，两个单项式是同类项时，相同字母的指数相等。
① 对应字母a的指数：第一个单项式中a的指数是3，第二个单项式中a的指数是n，因此可得$n=3$；
② 对应字母b的指数：第一个单项式中b的指数是m，第二个单项式中b的指数是$2+n$，因此可得$m=2+n$；
将$n=3$代入$m=2+n$，得$m=2+3=5$；
所以$m+n=5+3=8$。
【答案】
8
【知识点】
同类项的定义，代数式求值
【点评】
本题属于同类项定义的基础应用题型，解题关键是抓住同类项“相同字母指数相等”的性质求解未知参数，是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4. (2026·徐州期中)若单项式$m^{a+1}n^2$与$\frac{1}{2}m^2n^b$是同类项，则$a-b$的值是(
A
).
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案：A
[解析]由同类项的定义可知,$a+1=2,b=2$,解得$a=1,b=2$,所以$a-b=1-2=-1$.故选A.
解析：
【分析】
解题的核心是掌握同类项的定义，同类项需要满足两个条件：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等。我们先对比两个单项式中相同字母的指数，列出关于a、b的等式，求解得到a、b的值后，代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数相等，因此可得：
对于字母m：$a+1=2$，解得$a=1$；
对于字母n：$b=2$。
将$a=1$、$b=2$代入$a-b$计算，得$a-b=1-2=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对同类项判定条件的理解与运用，只要抓住“相同字母的指数相同”这一核心要点，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知$-x^{3}y^{2}$与$3y^{2}x^{n}$是同类项，则$n$的值为(
B
).
A.2
B.3
C.5
D.2或3
答案：B
解析：
【分析】
本题考查同类项的相关知识，解题思路如下：首先回忆同类项的判定标准：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等，两个条件需同时满足。观察题目给出的两个同类项，先确认所含字母都是x和y，再看y的指数均为2，已经满足相同，那么只需让x的指数相等即可求出n的值。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
已知$-x^{3}y^{2}$与$3y^{2}x^{n}$是同类项，两个项所含字母均为x、y，其中y的指数都是2，因此x的指数必须相等，即$n=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对同类项判定规则的掌握，只要牢记同类项“两相同”的要求，即可快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
6.（2026·盐城射阳期中）如果单项式$-x^{m}y^{3}$与$4x^{2}y^{n+4}$是同类项，那么$n^{m}=$
1
.
答案：1
解析：
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。根据这个性质，我们可以得到两个单项式中x的指数相等、y的指数也相等，由此列出等式求出m和n的取值，最后将m、n代入$n^m$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$-x^{m}y^{3}$与$4x^{2}y^{n+4}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，可得：
$m=2$，$3=n+4$
解$3=n+4$，得$n=3-4=-1$
将$m=2$，$n=-1$代入$n^m$，得：
$n^m=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数的乘方
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查对同类项概念的理解与应用，解题的关键是抓住同类项“相同字母的指数对应相等”的特点，求出未知参数后代入计算即可，计算时注意负数的偶次幂是正数。
【难度系数】
0.8
