例3 (2026·南通海安期中改编)已知关于x的方程$\frac{2x+5}{3}=\frac{x+m}{6}-3$. 当m为何值时,该方程与$\frac{3-x}{2}-x=0$的解相同?
名师启发 首先求出方程$\frac{3-x}{2}-x=0$的解,然后代入$\frac{2x+5}{3}=\frac{x+m}{6}-3$求解即可.
关键提醒
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程,熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键.
答案：解方程$\frac{3-x}{2}-x=0$,得$x=1$.
将$x=1$代入$\frac{2x+5}{3}=\frac{x+m}{6}-3$,
得$\frac{7}{3}=\frac{1+m}{6}-3$,解得$m=31$.
解析：
【分析】
本题属于同解方程问题，解题逻辑清晰：两个方程解相同意味着这个解同时满足两个方程，因此第一步先求解不含参数m的方程$\frac{3-x}{2}-x=0$，得到x的具体值；第二步将x的值代入含有参数m的方程$\frac{2x+5}{3}=\frac{x+m}{6}-3$，此时方程转化为仅含m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 求解方程$\frac{3-x}{2}-x=0$：
去分母，两边同时乘2得：$3-x-2x=0$
合并同类项得：$3-3x=0$
移项、系数化为1得：$x=1$
2. 将$x=1$代入方程$\frac{2x+5}{3}=\frac{x+m}{6}-3$：
代入后得：$\frac{2×1+5}{3}=\frac{1+m}{6}-3$，化简得$\frac{7}{3}=\frac{1+m}{6}-3$
去分母，两边同时乘6得：$14=1+m-18$
移项计算得：$m=14+18-1=31$
【答案】
$m=31$
【知识点】
同解方程、解一元一次方程、一元一次方程的解
【点评】
本题是典型的同解方程基础题，核心是利用“同解”的性质关联两个方程，解题时要注意去分母环节不要漏乘常数项，代入数值计算要仔细，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
例4 我们知道由$|x|=2$，可得$x=2$或$x=-2$.例如解方程$|2x-1|=3$，我们只要把$2x-1$看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.
根据绝对值的意义，得$2x-1=3$或$2x-1=-3$，所以$x=2$或$x=-1$.
根据以上材料解决下列问题：
(1)解方程：$|3x-2|=4$；
(2)解方程：$|x-2|=|3x+2|$.
名师启发 先去绝对值，化成一元一次方程求解即可.
答案：(1)根据绝对值的意义，
得$3x-2=4$或$3x-2=-4$，
解得$x=2$或$x=-\frac{2}{3}$.
(2)由绝对值的意义，
得$x-2=3x+2$或$x-2+3x+2=0$，
解得$x=-2$或$x=0$.
解析：
【分析】
（1）解方程$|3x-2|=4$时，可类比题中示例，把$3x-2$看作一个整体，根据绝对值的性质：若$|a|=b$（$b＞0$），则$a=b$或$a=-b$，分两种情况列出一元一次方程，分别求解即可。
（2）解方程$|x-2|=|3x+2|$时，根据绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，因此分两种情况讨论：①两个绝对值内的式子相等；②两个绝对值内的式子互为相反数（即两式之和为0），分别列出一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的意义，得：
$3x-2=4$ 或 $3x-2=-4$
解$3x-2=4$：移项得$3x=4+2$，即$3x=6$，系数化为1得$x=2$；
解$3x-2=-4$：移项得$3x=-4+2$，即$3x=-2$，系数化为1得$x=-\frac{2}{3}$。
(2) 根据绝对值的意义，得：
$x-2=3x+2$ 或 $x-2+(3x+2)=0$
解$x-2=3x+2$：移项得$x-3x=2+2$，即$-2x=4$，系数化为1得$x=-2$；
解$x-2+3x+2=0$：合并同类项得$4x=0$，系数化为1得$x=0$。
【答案】
(1) $x=2$或$x=-\frac{2}{3}$
(2) $x=-2$或$x=0$
【知识点】
绝对值的性质；解一元一次方程；绝对值方程求解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是读懂材料给出的绝对值方程转化思路，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，将陌生的绝对值方程转化为熟悉的一元一次方程求解，注意分类讨论时不要遗漏情况。
【难度系数】
0.7
例5 以下是两张不同类型火车的车票（“D××××次”表示动车，“G××××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是
同
向而行.（填“相”或“同”）
（2）已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h，300 km/h，两列火车的长度不计.
①通过测算，如果两列火车直达终点（即中途都不停靠任何站点），高铁将比动车早到2 h，求A，B两地之间的距离.
②在①中测算的数据基础上，已知A，B两地途中依次设有5个站点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$，且$AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5 = P_5B$，动车每个站点都停靠，高铁只停靠$P_2,P_4$两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留5 min. 求该列高铁追上动车的时刻.
名师启发 （1）核对两车的出发地及目的地，即可得出两车方向相同.（2）①根据时间＝路程÷速度即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；②利用时间＝路程÷速度可求出两车经过每个相邻站点的时间，进而可得出高铁在$P_1$站，$P_2$站之间追上动车.
答案：(1)同
(2)①设A,B两地之间的距离为$x$ km.
根据题意,得$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=3$,
解得$x=1800$.故A,B两地之间的距离是1 800 km.
②每个相邻站点距离为$1800÷6=300(\mathrm{km})$,
动车到每一站所花时间为$300÷200×60=90(\mathrm{min})$,
高铁到每一站所花时间为$300÷300×60=60(\mathrm{min})$.
因为$60÷(90-60)=2$,
所以高铁在$P_1$站,$P_2$站之间追上动车.
设高铁经过$t$小时追上动车.
由题意,可列方程$300t=(t+1-\frac{5}{60})×200$,
解得$t=\frac{11}{6}$.因为$\frac{11}{6}$小时$=1$小时50分钟,
所以高铁在7:00出发,经过1小时50分钟,追上动车.故该列高铁追上动车的时刻为8:50.
解析：
【分析】
（1）观察两张车票的出发地和目的地，均为A地开往B地，可直接判断两车的行驶方向；
（2）①先明确两车的时间差：动车比高铁早1小时出发，高铁比动车早2小时到达，因此动车走完全程的总用时比高铁多3小时。设A、B两地距离为x km，根据“时间=路程÷速度”分别表示两车走完全程的时间，根据时间差列一元一次方程求解即可；
②先计算相邻两个站点的距离，再分别算出动车、高铁行驶一段站点间隔的时间，结合两车的停靠规则梳理行驶时间线，判断出高铁追上动车的区间，再根据“追上时两车行驶路程相等”的等量关系列方程，最后结合高铁的出发时间计算出追及时刻。
【解析】
（1）两张车票的行驶路线均为A地到B地，因此两车是同向而行。
（2）①设A，B两地之间的距离为$x$ km。
根据题意，动车走完全程的时间为$\frac{x}{200}$ h，高铁走完全程的时间为$\frac{x}{300}$ h，动车总用时比高铁多$1+2=3$ h，列方程得：
$\frac{x}{200}-\frac{x}{300}=3$
通分化简得：$\frac{3x-2x}{600}=3$，解得$x=1800$。
②A、B两地共分为6段相等的站点间隔，每段间隔距离为$1800÷6=300(\mathrm{km})$。
动车行驶1段间隔的时间为$300÷200=1.5(\mathrm{h})=90(\mathrm{min})$，每站停靠5 min；
高铁行驶1段间隔的时间为$300÷300=1(\mathrm{h})=60(\mathrm{min})$，每站停靠5 min。
对比两车行驶时间线可判断，高铁在$P_1$站和$P_2$站之间追上动车。
设高铁经过$t$小时追上动车，此时动车的实际行驶时间为$(t+1-\frac{5}{60})$小时（动车比高铁早出发1小时，且在$P_1$站停靠了5分钟即$\frac{5}{60}$小时，停靠时未行驶）。
追上时两车行驶路程相等，列方程：
$300t=(t+1-\frac{5}{60})×200$
解得$t=\frac{11}{6}$，$\frac{11}{6}$小时=1小时50分钟。
高铁7:00出发，经过1小时50分钟后时刻为8:50。
【答案】
(1) 同
(2) ①A、B两地之间的距离是$\boxed{1800\ \mathrm{km}}$；②该列高铁追上动车的时刻为$\boxed{8:50}$。
【知识点】
一元一次方程的应用，行程问题，时间单位换算
【点评】
本题结合真实的车票场景命题，需要先提取题干中的有效信息，理清两车的出发时间、行驶速度、停靠规则等条件，重点考查行程问题中等量关系的寻找，第二问追及问题需要先确定追及区间再列方程，能够有效锻炼信息提取和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
