例1 某市出租车的收费标准为起步价5元，可以行驶3千米，以后每增加1千米按1.2元收费，若不足1千米按1千米计算。某次小刚从家乘出租车去学校，共付车费11元。小刚的家距离学校不超过多少千米？
解答 因为$11 - 5 = 6$(元)，$6 ÷ 1.2 = 5$(千米)，所以按照出租车的收费标准，超出3千米部分的路程最多为5千米，因此小刚的家距离学校不超过8千米。
辨析归纳
容易忽视这段路程应该由两部分组成，因而会出现错误结论。
答案：解：
11元大于起步价5元，说明行驶路程超过起步可行驶的3千米。
超出起步价的费用为：$11 - 5 = 6$（元）
超出3千米部分最多可行驶的路程为：$6 ÷ 1.2 = 5$（千米）
总路程最多为：$3 + 5 = 8$（千米）
答：小刚的家距离学校不超过8千米。
解析：
【分析】
解题时首先判断行驶路程是否超过起步路程，已知总车费11元大于起步价5元，说明路程超过3千米。接下来先计算超出起步价的费用，再根据超出部分的单价算出超出起步路程的最大距离，最后将起步路程和超出路程相加，就能得到家到学校的最大距离，也就是不超过的千米数。
【解析】
因为11元大于起步价5元，说明行驶路程超过起步可行驶的3千米。
超出起步价的费用为：$11 - 5 = 6$（元）
超出3千米部分最多可行驶的路程为：$6 ÷ 1.2 = 5$（千米）
总路程最多为：$3 + 5 = 8$（千米）
答：小刚的家距离学校不超过8千米。
【答案】
小刚的家距离学校不超过8千米
【知识点】
1.分段计费问题 2.有理数四则运算
【点评】
本题结合生活中出租车计费的实际场景命题，解题的核心是将总费用拆分为起步价和超出起步价两部分，分别对应计算路程后求和，解题时需注意计费规则，避免漏算起步路程。
【难度系数】
0.8
1. 如图，把一个底面积为8 cm²、高为6 cm的圆柱切开，切成4个小圆柱，它的表面积增加了(
D
)。
A.16 cm²
B.24 cm²
C.32 cm²
D.48 cm²
答案：D
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要明确圆柱切割时表面积的变化规律：每横向切割圆柱1次，表面积会新增2个圆柱的底面积。我们先计算把圆柱切成4个小圆柱需要切割的次数，再求出一共新增了多少个底面积，最后用单个底面积乘新增的底面积数量，就能得到增加的表面积。
【解析】
第一步：计算切割次数：把圆柱切成4个小圆柱，需要切割的次数为 $4-1=3$ 次。
第二步：计算新增的底面积总数：每切割1次增加2个底面积，3次共增加底面积数量为 $3×2=6$ 个。
第三步：计算增加的表面积：已知单个底面积是 $8\mathrm{cm}^2$，所以增加的表面积为 $6×8=48\mathrm{cm}^2$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆柱切割的表面积变化，圆柱底面积认识
【点评】
本题是立体图形切割类的基础题型，解题的核心是理清切割次数和新增面数量的关系，避免误将切割段数直接当作新增面的数量，只要结合实际切割场景分析就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是
20
～
45
mg.
答案：20 45
解析：
【分析】
要确定一次服用的剂量范围，需分别计算单次服用的最小剂量和最大剂量：计算最小单次剂量时，选择每日最小总剂量，除以最多服用次数，此时单次分到的药量最少；计算最大单次剂量时，选择每日最大总剂量，除以最少服用次数，此时单次分到的药量最多，将两个结果组合就是所求范围。
【解析】
首先计算单次服用的最小剂量：每日最少服用60mg，最多分3次服用，因此单次最小剂量为 $60÷3=20\,\mathrm{mg}$。
再计算单次服用的最大剂量：每日最多服用90mg，最少分2次服用，因此单次最大剂量为 $90÷2=45\,\mathrm{mg}$。
因此一次服用这种药品的剂量范围是20~45mg。
【答案】
20；45
【知识点】
有理数除法运算；实际问题最值分析
【点评】
本题结合药品说明书的生活场景，考查除法运算在实际问题中的应用，解题关键是明确求单次剂量最值时对应总剂量和服用次数的选择，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
3. 下面是在博物馆里的一段对话.
管理员:先生,这个化石有 800 002 年了.
参观者:你怎么知道得这么精确?
管理员:两年前有个考古学家参观过这里,他说此化石有 80 万年了,现在两年过去了,所以是 800 002 年.
管理员的推断对吗?请你说说理由.
答案：管理员的推断不对.理由如下：
两年前有个考古学家参观过这里,他说此化石有80万年了,此处的80万年是一个估计数字,有可能比80万年早,还有可能晚,过2年不能直接加2,应该还是80万年.
解答时可联系生活实际去解.关键是理解80万年不是准确数.
解析：
【分析】
解题时首先要判断管理员的推断是否正确，核心是区分准确数和近似数的概念：考古学家给出的80万年是对化石年代的估算值，属于近似数，并不是精确到个位的准确数，因此不能直接将近似数当作精确值累加后续的年份，结合这个思路就能推导出正确结论。
【解析】
解：管理员的推断是错误的。
考古学家所说的“80万年”是通过考古检测得到的近似估计值，本身存在合理的误差范围，并不是精准到1年的准确数值，因此过去两年后，不能直接在80万的基础上加2得到800002年，此时化石的年代仍应表述为约80万年。
【答案】
管理员的推断不对.理由如下：
两年前有个考古学家参观过这里,他说此化石有80万年了,此处的80万年是一个估计数字,有可能比80万年早,还有可能晚,过2年不能直接加2,应该还是80万年.
【知识点】
准确数与近似数、近似数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查对近似数概念的掌握，解题的关键是明确生活中很多估算得到的数值都属于近似数，不能将其当作精确值进行随意运算。
【难度系数】
0.8
易错点2 不能正确分析图形摆放的规律
例2 如图是相同的圆柱形木材堆放的侧面示意图.
(1)根据给出的图形,填写表格:
(2)第10堆有木材多少根?
解答 (1)填表如下:
(2)第10堆木材有 $1+2+3+\dots+9+10=55$(根).
辨析归纳
答案：解：
(1) 填写表格如下：
|堆数编号|第1堆|第2堆|第3堆|第4堆|第5堆|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|木材根数|1|3|6|10|15|…|
(2) 第10堆木材的总根数为：
$1+2+3+\dots+9+10=55$（根）
答：第10堆有木材55根。
解析：
【分析】
我们先观察每堆木材的摆放特征：第1堆只有1层，共1根；第2堆有2层，从上到下分别是1根、2根；第3堆有3层，从上到下分别是1根、2根、3根……以此类推，第n堆就有n层，每层的根数等于层数，因此第n堆的总根数就是从1到n的所有正整数相加的和。
解决第一问时，我们只需分别计算n=1、2、3、4、5对应的和，填入表格即可；解决第二问时，把n=10代入规律，计算1到10的正整数之和就能得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各堆木材的总根数：
第1堆：共1层，总根数为1根；
第2堆：共2层，总根数$=1+2=3$（根）；
第3堆：共3层，总根数$=1+2+3=6$（根）；
第4堆：共4层，总根数$=1+2+3+4=10$（根）；
第5堆：共5层，总根数$=1+2+3+4+5=15$（根）；
将计算结果对应填入表格即可。
(2) 第10堆共有10层，总根数为1到10的正整数之和，用首尾配对法计算：
$1+2+3+\dots+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11×5=55$（根）
【答案】
(1)
|堆数编号|第1堆|第2堆|第3堆|第4堆|第5堆|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|木材根数|1|3|6|10|15|…|
(2) 第10堆有木材55根。
【知识点】
图形规律探究、有理数加法运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是结合图形摆放特征抽象出数字变化的规律，需避免脱离图形、只看零散数字猜规律的错误，掌握连续正整数相加的简便计算方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.（2026·威海模拟）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（
B
）。
A.69
B.73
C.77
D.83
答案：B
[解析]题图①中三角形的个数为 5=2×1+1+2；
题图②中三角形的个数为 10=2×2+1+2+3；
题图③中三角形的个数为 16=2×3+1+2+3+4；…；
题图⑨中三角形的个数为 2×9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=73. 故选 B.
解析：
【分析】
要解决这道规律探究题，我们可以先将已知的前3个图形的小三角形个数和对应图形序号关联起来，尝试把每个个数拆分成和序号相关的部分，从中归纳通用规律，最后代入序号9计算即可。首先观察已知条件：第①个图形（序号n=1）有5个小三角形，第②个图形（n=2）有10个，第③个图形（n=3）有16个。我们可以对这三个数进行拆分：5可拆为2×1加1+2，10可拆为2×2加1+2+3，16可拆为2×3加1+2+3+4，由此就能推导出第n个图形的小三角形个数的通用表达式，再代入n=9计算就能得到结果。
【解析】
先整理前三个图形的小三角形个数的组成规律：
第①个图形：个数为 $5 = 2×1 + 1 + 2$
第②个图形：个数为 $10 = 2×2 + 1 + 2 + 3$
第③个图形：个数为 $16 = 2×3 + 1 + 2 + 3 + 4$
由此可归纳规律：第n个图形的小三角形个数为 $2n + 1+2+3+\dots+(n+1)$
当n=9时，代入规律式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{个数}&=2×9 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)\\&=18 + 55\\&=73\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；有理数加法运算
【点评】
本题属于典型的规律探究题，需要学生观察已知图形的数量和序号的对应关系，通过拆分数字归纳通用规律，再代入数值计算，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.65
