5. (2026·徐州铜山区期中)由火柴棒拼出一列图形，每个图形由几个正方形组成，通过观察发现：
(1)组成4个正方形的火柴棒根数是
13
；
(2)组成5个正方形的火柴棒根数是
16
；
(3)组成100个正方形的火柴棒根数是
301
。
答案：1个正方形有4根火柴；
2个正方形有4+3=7(根)火柴；
3个正方形有4+2×3=10(根)火柴；
(1)13 [解析]组成4个正方形的火柴棒根数是4+3×3=13.
(2)16 [解析]组成5个正方形的火柴棒根数是4+4×3=16.
(3)301 [解析]组成100个正方形的火柴棒根数是4+99×3=301.
解析：
【分析】
解题时先观察已知图形的火柴棒数量特征：1个正方形用4根火柴棒，2个正方形用7根，3个正方形用10根，不难发现每新增1个正方形，因为和前一个正方形共用1条边，仅需额外增加3根火柴棒。由此可先推导n个正方形所需火柴棒根数的通用规律，再将对应的n值代入规律式计算即可得到答案。
【解析】
观察图形可得规律：
1个正方形的火柴棒根数：4；
2个正方形的火柴棒根数：4+3=7；
3个正方形的火柴棒根数：4+3×2=10；
综上，n个正方形的火柴棒根数为：$ 4 + 3(n-1) = 3n +1 $。
(1) 当n=4时，$ 3×4 +1 = 13 $；
(2) 当n=5时，$ 3×5 +1 = 16 $；
(3) 当n=100时，$ 3×100 +1 = 301 $。
【答案】
(1)13；(2)16；(3)301
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是抓住图形数量增加时对应元素的变化规律，推导出通用的代数式后代入数值计算即可，掌握规律推导的方法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
例1 售货员：“快来买啦，特价鸡蛋，原价每箱14元，现价每箱12元，每箱有鸡蛋30个.”
顾客甲：“我店里买了一些这种特价鸡蛋，花的钱比按原价买同样多鸡蛋花的钱的2倍少96元.”
顾客乙：“我家买了两箱相同的特价鸡蛋，结果18天后，剩下的20个鸡蛋全坏了.”
请你根据上面的对话，解答下面的问题：
(1)顾客乙买的两箱鸡蛋合算吗？说明理由.
(2)请你求出顾客甲买了多少箱这种特价鸡蛋.假设这批特价鸡蛋的保质期还有18天，那么顾客甲平均每天要消耗多少个鸡蛋才不会浪费？
解析 (1)每个鸡蛋原价为$(14÷30)$元，特价为每个$(12÷30)$元，所以买两箱原价鸡蛋花28元，两箱特价鸡蛋花24元，坏了$(\dfrac{12}{30}×20)$元，则可知是否省钱；
(2)等量关系为箱数$×12=$箱数$×14×2-96$，设箱数为$x$即可求解.
答案 (1)不合算.理由如下：
顾客乙买两箱鸡蛋节省的钱为$2×(14-12)=4$(元)，顾客乙丢掉的20个坏鸡蛋浪费的钱为$20×\dfrac{12}{30}=8$(元).因为4元$＜8$元，所以顾客乙买的两箱鸡蛋不合算.
(2)设顾客甲买了$x$箱鸡蛋.
由题意，得$12x=2×14x-96$，解得$x=6$.
$6×30÷18=10$(个).
故顾客甲平均每天要消耗10个鸡蛋才不会浪费.
点拨 解题的关键是抓住等量关系，学会分步讨论和审题.
答案：解：
(1) 顾客乙买的两箱鸡蛋不合算，理由如下：
顾客乙买两箱特价鸡蛋相比按原价买同样两箱鸡蛋节省的钱为：
$2×(14-12)=4$(元)
每个特价鸡蛋的单价为$\frac{12}{30}$元，坏掉的20个鸡蛋浪费的钱为：
$20×\frac{12}{30}=8$(元)
因为4元$＜8$元，所以顾客乙买的两箱鸡蛋不合算。
(2) 设顾客甲买了$x$箱这种特价鸡蛋。
由题意得：
$12x=2×14x-96$
解得$x=6$
顾客甲购买的鸡蛋总个数为$6×30=180$个，18天内全部消耗完，平均每天需要消耗的鸡蛋个数为：
$180÷18=10$(个)
答：顾客甲买了6箱这种特价鸡蛋，平均每天要消耗10个鸡蛋才不会浪费。
解析：
【分析】
(1) 判断顾客乙买的鸡蛋是否合算，核心是对比买特价鸡蛋节省的总费用和坏鸡蛋浪费的费用：先计算两箱鸡蛋按原价和特价购买的差价得到节省的金额，再计算坏掉的20个鸡蛋对应的成本，若节省的金额少于浪费的金额则不合算。
(2) 求顾客甲购买的箱数，首先提取题干等量关系：买$x$箱特价鸡蛋的总花费 = 原价买$x$箱鸡蛋总花费的2倍 - 96元，设未知数列一元一次方程即可求解；再用总鸡蛋数除以保质期18天，就能得到每天至少需要消耗的鸡蛋数，避免浪费。
【解析】
(1) 计算顾客乙买两箱特价鸡蛋节省的费用：
每箱鸡蛋原价14元，特价12元，两箱共节省的金额为：$2×(14-12)=4$元。
计算坏掉20个鸡蛋浪费的费用：
特价每箱有30个鸡蛋，单个特价鸡蛋价格为$\frac{12}{30}$元，20个坏鸡蛋浪费的金额为：$20×\frac{12}{30}=8$元。
因为$4＜8$，节省的费用少于浪费的费用，所以顾客乙买的两箱鸡蛋不合算。
(2) 设顾客甲买了$x$箱这种特价鸡蛋。
根据题意列方程：
$12x = 2×14x - 96$
解方程：
$12x = 28x - 96$
$16x = 96$
$x = 6$
甲购买的鸡蛋总个数为$6×30=180$个，要在18天内全部消耗完不浪费，平均每天需要消耗的数量为：$180÷18=10$个。
【答案】
(1) 不合算；
(2) 顾客甲买了6箱特价鸡蛋，平均每天要消耗10个鸡蛋才不会浪费。
【知识点】
一元一次方程应用，有理数运算，方案优劣判断
【点评】
本题结合生活消费场景命题，需要学生从对话中提取有效信息，找准等量关系列方程，同时学会用数学运算判断实际消费的性价比，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
1. (2026·黑龙江大庆肇源期中)段老师要买60个足球，现有3家体育用品商店举行促销活动，优惠情况如下，甲店每买10个送2个，乙店打8折销售，丙店购物每满200元减30元.这三家店同种品牌足球的单价都是25元，你认为段老师到哪家店买最划算？
答案：甲店:60÷(10+2)=60÷12=5(组),
实际购买数量:10×50=50(个),25×50=1250(元);
乙店:25×60×80%=1500×0.8=1200(元);
丙店:25×60=1500(元),
1500÷200=7……100,
1500-30×7=1500-210=1290(元).
因为1200＜1250＜1290,故段老师到乙店买最划算.
解析：
【分析】
要判断在哪家店购买最划算，核心是分别计算出在甲、乙、丙三家店购买60个足球的总花费，再对比三个花费的大小，总花费最低的店铺就是最优选择。计算时需对应每家店的优惠规则：①甲店“买10送2”，即花10个足球的钱可以得到12个，先算60个足球里包含多少组12个，就能得到实际需要花钱购买的足球数量，再乘单价得到总花费；②乙店打8折，即总售价是原价总金额的80%，先算原价总金额再乘80%即可；③丙店“每满200元减30元”，先算原价总金额，再看总金额里有多少个200元，就减去多少个30元，得到实际花费。
【解析】
甲店：每买10个送2个，每12个足球为1组，只需支付10个的费用
组数：$60÷(10+2)=5$（组）
实际需要购买的数量：$10×5=50$（个）
甲店总花费：$25×50=1250$（元）
乙店：打8折即按原价的80%收费
乙店总花费：$25×60×80\%=1500×0.8=1200$（元）
丙店：先算原价总金额：$25×60=1500$（元）
满减次数：$1500÷200=7······100$，即可以享受7次满减
丙店总花费：$1500-30×7=1500-210=1290$（元）
对比三家花费：$1200＜1250＜1290$，乙店花费最低。
【答案】
段老师到乙店买最划算。
【知识点】
最优方案选择、折扣计算、满减优惠计算
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景，考查对不同优惠规则的理解应用能力和基础计算能力，解题关键是准确匹配各店的优惠规则计算总花费，再通过比大小得出结论，和生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.7
例2 中国古代的兵法是我国前人无数心血与智慧的结晶，它里面也蕴含着许多的数学思想，如“李代桃僵”.
原文是“桃生露井上，李树生桃旁，虫来啮桃根，李树代桃僵.树木身相代，兄弟还相忘？”原话说，李树替桃树受虫蛀，原比喻兄弟间应友爱相帮，后来转喻为互相替代、代换.在军事谋略中，这是常用之计.等量代换也是思考数学问题的常用方法.请同学们利用等量代换的方法解决下列问题：
1个菠萝加1个梨的重量等于7个桃子的重量；
2个梨的重量等于4个桃子的重量.那么，1个菠萝的重量等于几个桃子的重量呢？
解答 因为2个梨＝4个桃子，
所以1个梨就等于4÷2＝2(个)桃子.
又知1个菠萝＋1个梨＝7个桃子，
把梨代换成桃子是1个菠萝＋2个桃子＝7个桃子，1个菠萝就等于7－2＝5(个)桃子的重量.
点拨 本题主要考查对等量代换解题思想的理解.
答案：解：
因为2个梨的重量等于4个桃子的重量，
所以1个梨的重量为：4÷2=2（个）桃子的重量。
又已知1个菠萝的重量+1个梨的重量=7个桃子的重量，
将1个梨的重量等量代换为2个桃子的重量，可得：
1个菠萝的重量+2个桃子的重量=7个桃子的重量，
因此1个菠萝的重量=7-2=5（个）桃子的重量。
答：1个菠萝的重量等于5个桃子的重量。
解析：
【分析】
解题时先梳理题目给出的两个等量关系，我们的目标是推导1个菠萝和桃子的重量关系，所以首先通过“2个梨的重量=4个桃子的重量”算出1个梨对应的桃子重量，得到梨和桃的换算关系这个中间量后，再将“1个菠萝+1个梨=7个桃子”中的梨替换为对应数量的桃子，即可求出1个菠萝相当于多少个桃子的重量。
【解析】
因为2个梨的重量等于4个桃子的重量，
所以1个梨的重量为：4÷2=2（个）桃子的重量。
又已知1个菠萝的重量+1个梨的重量=7个桃子的重量，
将1个梨的重量等量代换为2个桃子的重量，可得：
1个菠萝的重量+2个桃子的重量=7个桃子的重量，
因此1个菠萝的重量=7-2=5（个）桃子的重量。
【答案】
1个菠萝的重量等于5个桃子的重量。
【知识点】
等量代换、等式的基本性质
【点评】
本题结合传统文化背景出题，趣味性较强，核心考查等量代换的解题思想，解题关键是先求出梨和桃子的重量换算关系，代入原式消去中间量即可得到结果，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.85
