例3 (2026·徐州新沂期中)规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$写作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$,读作“(-3)的圈4次方”,一般的,把$a÷a÷a÷a÷…÷a$($R$个$a$相除,且$a≠0$)写作$a^{Ⓡ}$,读作“$a$的圈$R$次方”.
[初步探究]
(1)直接写出计算结果: $2^{②}=$
, $(-\dfrac{1}{2})^{③}=$
.
[深入思考]
我们知道,有理数的加减运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
(2)试一试:仿照上面的算式,把下列除方运算直接写成幂的形式: $(-3)^{⑤}=$
, $(\dfrac{1}{5})^{⑥}=$
.
(3)算一算: $12^{2}÷(-\dfrac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\dfrac{1}{3})^{⑥}÷3^{3}$.
解析 (1)根据新定义列式计算即可;
(2)根据新定义转化为有理数的除法,再转换为乘法,继而写成幂的形式;
(3)根据新定义列式计算即可.
答案 (1)1 -2
(2)$(-\dfrac{1}{3})^{3}$ $5^{4}$
(3)原式$=144÷(-3)^{2}×(-\dfrac{1}{2})^{4}-(-3)^{4}÷27$
$=144÷9×\dfrac{1}{16}-81÷27=16×\dfrac{1}{16}-3$
$=1-3=-2$.
解析：
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义：a的圈R次方表示R个非零a连续相除。解题思路如下：①解决第(1)问时，直接按照除方的定义列出除法算式，再根据有理数除法法则计算即可；②解决第(2)问时，先将除方的连续除法转化为乘以倒数的乘法运算，再整理为幂的形式，可总结规律：a的圈R次方等于(1/a)的(R-2)次方（a≠0）；③解决第(3)问时，先将算式中所有的除方运算按照规律转化为乘方运算，再遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可。
【解析】
(1) 根据除方的定义计算：
$2^{②}=2÷2=1$
$(-\dfrac{1}{2})^{③}=(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})=1÷(-\dfrac{1}{2})=-2$
(2) 将除方转化为乘法，再整理为幂的形式：
$(-3)^{⑤}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^3$
$(\dfrac{1}{5})^{⑥}=\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}÷\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}×5×5×5×5×5=5^4$
(3) 先把除方转化为乘方，再按混合运算法则计算：
$\begin{aligned}原式&=12^2÷(-\dfrac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\dfrac{1}{3})^{⑥}÷3^3\\&=144÷(-3)^2×(-\dfrac{1}{2})^4 - (-3)^4÷27\\&=144÷9×\dfrac{1}{16} - 81÷27\\&=16×\dfrac{1}{16} - 3\\&=1-3\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $1$，$-2$；(2) $(-\dfrac{1}{3})^3$，$5^4$；(3) $-2$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算题型，考查对新概念的理解迁移能力和有理数运算的熟练度，解题的关键是准确把握除方的定义，将陌生的除方运算转化为熟悉的乘方运算，再按照有理数的运算法则逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
