例1 (2026·福建厦门翔安区期末)如图,书架两侧摆放了若干本相同的书籍,左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板,其直角顶点C在书架底部DE上,当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时,顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20 cm,厚度为2 cm,则两摞书之间的距离DE为(
).
A.24 cm
B.23 cm
C.22 cm
D.21 cm
解析 由题意可得$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$BD⊥ DE$,$AE⊥ DE$,
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$.
$\because ∠ BCA=90°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$,$∠ BCD+∠ DBC=90°$,
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$.
在$△ BDC$和$△ CEA$中,
$\{\begin{array}{l}∠ BDC=∠ CEA, \\∠ DBC=∠ ECA, \\BC=CA,\end{array} $
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$.
由题意可得$BD=EC=4\ \mathrm{cm}$,$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=DC+CE=24\ \mathrm{cm}$.
答案 A
解析：
【分析】
解题时首先结合等腰直角三角板的已知条件，得到$AC=BC$、$∠ ACB=90°$，再根据书籍竖直摆放的特点，得出$BD⊥ DE$、$AE⊥ DE$，即两个直角相等。接下来利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的锐角，进而证明$△ BDC$和$△ CEA$全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，求出$DC$和$CE$的长度，最后将两段线段相加即可得到$DE$的长度。
【解析】
由题意可得：$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$BD⊥ DE$，$AE⊥ DE$，
$\therefore ∠ BDC=∠ CEA=90°$。
$\because ∠ BCA=90°$，
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ BDC$中$∠ BCD+∠ DBC=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DBC$。
在$△ BDC$和$△ CEA$中：
$\begin{cases}∠ BDC=∠ CEA \\∠ DBC=∠ ECA \\BC=CA\end{cases}$
$\therefore △ BDC≌△ CEA(\mathrm{AAS})$。
结合书籍尺寸可得：$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$，$AE=20\ \mathrm{cm}$，
根据全等三角形对应边相等，得$EC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$DC=AE=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=20+4=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中书架摆书的实际情境，考查全等三角形判定与性质的应用，解题关键是利用同角的余角相等推导得到相等的内角，证明三角形全等后将未知线段转化为已知线段求解，是几何知识解决实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
