例2 (2026·四川凉山州期末)[问题背景]
在四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ BAD=120°$，$∠ B=∠ ADC=90°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，且$∠ EAF=60°$，试探究图(1)中线段$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系。
[初步探索]
小亮同学认为:延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，先证明$△ ABE ≌ △ ADG$，再证明$△ AEF ≌ △ AGF$，则可得到$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系是
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[探索延伸]
在四边形$ABCD$中，如图(2)，$AB=AD$，$∠ B+∠ D=180°$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$，上述结论是否仍然成立？说明理由。
[结论运用]
如图(3)，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心($O$处)北偏西$30°$的$A$处，舰艇乙在指挥中心南偏东$70°$的$B$处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东$50°$的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达$E$，$F$处，且两舰艇之间的夹角($∠ EOF$)为$70°$，试求此时两舰艇之间的距离。
解析 [探索延伸]延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$，证明$△ ABE ≌ △ ADG$和$△ AEF ≌ △ AGF$，即可得到答案；
[结论运用]连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$，得到$EF=AE+BF$，根据距离、速度和时间的关系计算即可。
答案 [初步探索]$EF=BE+FD$
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下:
如图(1)，延长$FD$到点$G$，使$DG=BE$，连接$AG$.
$\because ∠ B+∠ ADC=180°,∠ ADG+∠ ADC=180°,$
$\therefore ∠ B=∠ ADG.$
在$△ ABE$和$△ ADG$中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠ B=∠ ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADG(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AE=AG,∠ BAE=∠ DAG.$
$\because ∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD,$
$\therefore ∠ GAF = ∠ DAG + ∠ DAF = ∠ BAE + ∠ DAF = ∠ BAD-∠ EAF=∠ EAF,$
$\therefore ∠ EAF=∠ GAF.$
在$△ AEF$和$△ AGF$中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠ EAF=∠ GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AGF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore EF=FG,$
$\therefore EF=FG=DG+FD=BE+FD.$
[结论运用]如图(2)，连接$EF$，延长$AE$，$BF$交于点$C$.
$\because ∠ AOB = 30°+90°+(90°-70°)=140°,$
$∠ EOF=70°,\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB.$
$\because OA=OB,∠ OAC+∠ OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,$
$\therefore \mathrm{符合}[探索延伸]中的条件，$
$\therefore \mathrm{结论}EF=AE+BF\mathrm{成立，}$
$\mathrm{即}EF=1.5×(60+80)=210(\mathrm{海里}).$
$\mathrm{故此时两舰艇之间的距离是210海里}.$
点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线.
