【分析】
1. 第（1）问求直线解析式，已知直线过两个定点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可得到结果。
2. 第（2）问先利用勾股定理求出$AB$的长度，再根据运动速度分别用含$t$的代数式表示$BC$和$BD$的长度，根据$BC=BD$列方程求解即可得到$t$的值。
3. 第（3）问根据一次函数平移“左加右减自变量”的规律，先写出平移后的直线解析式，再求出E、F两点坐标，四边形$BAEF$的面积可通过$△ EOF$的面积减去$△ AOB$的面积计算得到。
4. 第（4）问分三种情况讨论等腰直角三角形的直角顶点：①直角顶点为B，$AB=BP$；②直角顶点为A，$AB=AP$；③直角顶点为P，$AP=BP$。每种情况通过作垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质计算点P的坐标，同时验证点P是否在第一象限。
【解析】
（1）设直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y=kx+b $。
将 $ A(6,0),B(0,8) $ 分别代入解析式，得
$\begin{cases}6k+b=0\\b=8\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3}\\b=8\end{cases}$
所以直线 $ l $ 对应的函数表达式为 $ y=-\dfrac{4}{3}x+8 $。
（2）已知$ A(6,0),B(0,8) $，则$ OA=6 $，$ OB=8 $，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $。
由运动情况可知：$ BC=t $，$ AD=2t $，
所以$ BD=AB-AD=10-2t $，
当$ BC=BD $时，列方程得：$ t=10-2t $，
解得$ t=\dfrac{10}{3} $。
（3）根据直线平移“左加右减”的规律，将直线$ l:y=-\dfrac{4}{3}x+8 $沿x轴向右平移3个单位长度后，
得到的直线EF的解析式为：$ y=-\dfrac{4}{3}(x-3)+8=-\dfrac{4}{3}x+12 $。
令$ x=0 $，得$ y=12 $，即$ F(0,12) $，$ OF=12 $；
令$ y=0 $，得$ -\dfrac{4}{3}x+12=0 $，解得$ x=9 $，即$ E(9,0) $，$ OE=9 $。
四边形$ BAEF $的面积等于$ △ EOF $的面积减去$ △ AOB $的面积：
$ S_{\mathrm{四边形}BAEF}=S_{△ EOF}-S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}× OE× OF-\dfrac{1}{2}× OA× OB $
代入数值计算：$ S_{\mathrm{四边形}BAEF}=\dfrac{1}{2}×9×12-\dfrac{1}{2}×6×8=54-24=30 $。
（4）存在符合条件的点P，分三种情况讨论：
① 当$ ∠ ABP=90° $，$ AB=BP $时，如图①，过点$ P $作$ PM⊥ y $轴于点$ M $，
因为$ ∠ ABP=90° $，所以$ ∠ ABO+∠ PBM=90° $，
又$ ∠ ABO+∠ OAB=90° $，所以$ ∠ OAB=∠ PBM $，
在$ △ AOB $和$ △ BMP $中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BMP=90°\\∠ OAB=∠ MBP\\AB=BP\end{cases}$
所以$ △ AOB≌△ BMP(\mathrm{AAS}) $，
所以$ OA=MB=6 $，$ OB=MP=8 $，
所以$ OM=OB+MB=8+6=14 $，所以$ P(8,14) $，在第一象限，符合条件。
② 当$ ∠ BAP=90° $，$ AB=AP $时，如图②，过点$ P $作$ PN⊥ x $轴于点$ N $，
同理可证$ △ AOB≌△ PNA(\mathrm{AAS}) $，
所以$ OA=NP=6 $，$ OB=NA=8 $，
所以$ ON=OA+NA=6+8=14 $，所以$ P(14,6) $，在第一象限，符合条件。
③ 当$ ∠ APB=90° $，$ BP=AP $时，如图③，过点$ P $分别作$ PG⊥ x $轴于点$ G $，$ PH⊥ y $轴于点$ H $，
易知四边形$ OGPH $是矩形，所以$ ∠ HPG=90° $，
因为$ ∠ APB=90° $，所以$ ∠ BPH+∠ HPA=∠ APG+∠ HPA=90° $，即$ ∠ BPH=∠ APG $，
在$ △ AGP $和$ △ BHP $中：
$\begin{cases}∠ BHP=∠ AGP=90°\\∠ BPH=∠ APG\\BP=AP\end{cases}$
所以$ △ AGP≌△ BHP(\mathrm{AAS}) $，
所以$ AG=BH $，$ PG=PH $，即矩形$ OGPH $是正方形，$ OG=OH $，
又$ OG=OA+AG=6+AG $，$ OH=OB-BH=8-BH $，
代入$ AG=BH $得$ 6+AG=8-AG $，解得$ AG=1 $，
所以$ OG=6+1=7 $，$ PG=OG=7 $，所以$ P(7,7) $，在第一象限，符合条件。
综上，点$ P $的坐标为$ (8,14) $或$ (14,6) $或$ (7,7) $。

【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x+8}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$
(3) $\boldsymbol{30}$
(4) 存在，点$ P $的坐标为$\boldsymbol{(8,14)}$、$\boldsymbol{(14,6)}$、$\boldsymbol{(7,7)}$

【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数平移规律
3. 等腰直角三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形判定与性质等知识点，重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意不要遗漏等腰直角三角形直角顶点的不同情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，已知三点坐标，可先通过两点间距离公式计算三边长度的平方，再用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形；
(2) BE平分∠ABC时，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，过E作ED⊥BC于D，可证Rt△ABE≌Rt△DBE得到BD=AB，先求出AB长度得到E点横坐标，再求直线AC的解析式，代入横坐标即可得到E点坐标；
(3) △AEF为等腰三角形需分三种情况讨论：AF=AE、AE=EF、AF=EF，分别结合等腰三角形等边对等角的性质、直角三角形角的关系推导边的关系，再结合一次函数过点的条件求解k，最后验证k是否在取值范围内即可。
【解析】
(1) 已知A(0,4)，B(-3,0)，C$(\dfrac{16}{3},0)$，由两点间距离公式可得：
$AB^2=(-3-0)^2+(0-4)^2=25$，$AC^2=(\dfrac{16}{3}-0)^2+(0-4)^2=\dfrac{400}{9}$，$BC^2=(-3-\dfrac{16}{3})^2=\dfrac{625}{9}$，
则$AB^2+AC^2=25+\dfrac{400}{9}=\dfrac{625}{9}=BC^2$，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，且$∠BAC=90°$。
(2) 过点E作$ED⊥BC$于点D，由(1)得$∠BAC=90°$，即$EA⊥AB$，$AB=\sqrt{25}=5$。
∵BE平分$∠ABC$，$ED⊥BC$，$EA⊥AB$，
∴$ED=EA$。
又
∵$BE=BE$，
∴$\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△DBE(\mathrm{HL})$，
∴$AB=DB=5$。
∵B(-3,0)，
∴$OB=3$，则$OD=BD-OB=5-3=2$，即点E的横坐标为2。
设直线AC的函数表达式为$y=mx+n$，将A(0,4)、C$(\dfrac{16}{3},0)$代入得：
$\begin{cases}n=4\\\dfrac{16}{3}m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\dfrac{3}{4}\\n=4\end{cases}$，即直线AC的解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x+4$。
将$x=2$代入解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×2+4=\dfrac{5}{2}$，即点E坐标为$(2,\dfrac{5}{2})$。
(3) 存在，分三种情况讨论：
① 当$AF=AE$时，$∠AFE=∠AEF$。
∵$∠BAC=90°$，
∴$∠ABF+∠AEF=90°$，又$∠BFO=∠AFE$，$∠BOF=90°$，
∴$∠FBO+∠BFO=90°$，则$∠ABF=∠FBO$，即BE平分$∠ABC$。
由(2)得$E(2,\dfrac{5}{2})$，将B(-3,0)、$E(2,\dfrac{5}{2})$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k+b=0\\2k+b=\dfrac{5}{2}\end{cases}$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，符合$0＜k＜\dfrac{4}{3}$；
② 当$AE=EF$时，$∠EAF=∠AFE$。
∵$∠AOC=90°$，
∴$∠EAF+∠ACO=90°$，又$∠BFO=∠AFE$，$∠BOF=90°$，
∴$∠FBO+∠BFO=90°$，则$∠ACO=∠FBO$，
∴$EB=EC$，即E在BC的垂直平分线上。
BC中点横坐标为$\dfrac{-3+\dfrac{16}{3}}{2}=\dfrac{7}{6}$，即E点横坐标为$\dfrac{7}{6}$，代入直线AC解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×\dfrac{7}{6}+4=\dfrac{25}{8}$，即$E(\dfrac{7}{6},\dfrac{25}{8})$。
将B(-3,0)、$E(\dfrac{7}{6},\dfrac{25}{8})$代入$y=kx+b$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，符合$0＜k＜\dfrac{4}{3}$；
③ 当$AF=EF$时，$∠EAF=∠AEF$。
∵$∠BAC=90°$，
∴$∠ABF+∠AEF=90°$，又$∠OAB+∠EAF=90°$，
∴$∠ABF=∠OAB$，则$AF=BF$。
设F(0,t)，则$AF=4-t$，$BF=\sqrt{OB^2+OF^2}=\sqrt{9+t^2}$，则$(4-t)^2=9+t^2$，解得$t=\dfrac{7}{8}$，即$F(0,\dfrac{7}{8})$。
将B(-3,0)、$F(0,\dfrac{7}{8})$代入$y=kx+b$得$b=\dfrac{7}{8}$，$-3k+\dfrac{7}{8}=0$，解得$k=\dfrac{7}{24}$，符合$0＜k＜\dfrac{4}{3}$。
综上，k的值为$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{7}{24}$。
【答案】
(1) 直角；(2) $\boldsymbol{(2,\dfrac{5}{2})}$；(3) 存在，$\boldsymbol{k}$的值为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$或$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$或$\boldsymbol{\dfrac{7}{24}}$
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 角平分线的性质
3. 一次函数与几何综合
【点评】
本题是一次函数和三角形几何的综合题，既考查了直角三角形判定、全等三角形证明、等腰三角形分类讨论等几何知识，也考查了一次函数解析式求解、点坐标计算等代数知识，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解等腰三角形的三种情况。
【难度系数】
0.4