【分析】
首先要准确理解题中的新定义：“和点”是将两点的横、纵坐标分别相加得到的点，“和点四边形”的四个顶点包含原点、两个点及它们的和点。已知四个顶点为O、A、B、C，因此需分三类情况讨论：①C是A、B的和点；②A是B、C的和点；③B是A、C的和点。再根据和点的运算规则分别列等式求解C的坐标，最后验证所得坐标是否满足四点能构成四边形（无三点共线）即可。
【解析】
设点C的坐标为$(x,y)$，根据“和点四边形”的定义，分以下三种情况讨论：
1. 当点C是A、B两点的“和点”时，根据和点运算规则：
$x=2+(-1)=1$，$y=5+3=8$，即$C(1,8)$；
2. 当点A是B、C两点的“和点”时，根据和点运算规则可得：
$\begin{cases}-1+x=2\\3+y=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即$C(3,2)$；
3. 当点B是A、C两点的“和点”时，根据和点运算规则可得：
$\begin{cases}2+x=-1\\5+y=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases}$，即$C(-3,-2)$。
经检验，以上三种情况中O、A、B、C四点均无三点共线，都可构成四边形，均符合题意。
【答案】
$(1,8)$或$(3,2)$或$(-3,-2)$
【知识点】
新定义运算、点的坐标计算、分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先吃透“和点”“和点四边形”的定义，再根据四个顶点的关系分类讨论，避免漏解，同时要注意验证构成四边形的条件，考查学生的阅读理解能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察各顶点坐标特征：A、B纵坐标相同，可得AB平行x轴，长度为a-1；A、D横坐标相同，可得AD平行y轴，长度也为a-1。题目要求n-m的值，可设t=n-m简化计算。接下来分别计算两个三角形的面积：△PAD以AD为底，高为点P到AD的水平距离，用横坐标差即可求出；△PBC的面积可转化为△ABC与△PAB的面积差，二者同底AB，高分别为点C、P到AB的竖直距离，用纵坐标差可快速求出。最后利用两个三角形面积相等列方程，结合1＜a＜3可知a-1≠0，约去该式后解方程即可得到t的值，也就是n-m的值。
【解析】
设$n-m=t$。
$\because A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$，
$\therefore AB=a-1$，且$AB// x$轴。
又$\because D(1,m+a)$，
$\therefore AD=a-1$，且$AD// y$轴。
如图，过点$P$作$PE⊥ AB$于点$E$，过点$C$作$CF⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$F$。
$\because P(n-m,n),C(3,m+3)$，
$\therefore$点$P$到$AD$的距离为$n-m-1=t-1$，
$PE=n-(m+1)=(t+m)-(m+1)=t-1$，
$CF=(m+3)-(m+1)=2$。
$\therefore S_{△ PAD}=\frac{1}{2}· AD· (t-1)=\frac{1}{2}(a-1)(t-1)$，
$S_{△ PBC}=S_{△ ABC}-S_{△ PAB}=\frac{1}{2}AB· CF-\frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}(a-1)×2-\frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(a-1)(3-t)$。
$\because S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$，
$\therefore \frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(a-1)(3-t)$。
$\because 1＜a＜3$，$\therefore a-1≠0$，等式两边同时除以$\frac{1}{2}(a-1)$得：
$t-1=3-t$，解得$t=2$，即$n-m=2$。
【答案】
2
【知识点】
坐标与图形性质；三角形面积计算；平面直角坐标系特征
【点评】
本题将平面直角坐标系与三角形面积计算相结合，解题的核心是利用坐标的特点快速获取线段的位置、长度和点到直线的距离，通过设参数简化运算，消去无关的参数后即可得到结果，较好地考查了坐标几何的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题首先要准确理解“对角点”的定义：两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差值不为0时，两点互为“对角点”。各小问解题思路如下：
(1) 分别计算3个点与点A的横坐标差、纵坐标差，判断是否满足相等且不为0的条件即可；
(2) 坐标轴上的点横坐标为0（y轴）或纵坐标为0（x轴），分两类按“对角点”定义列方程求解即可；
(3) 先按定义推导m和n的关系式，再结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征列不等式，同时注意差值不为0的限制，最终求取值范围。
【解析】
(1) 已知点$A(4,-2)$：
对$B_1(2,0)$：横坐标差$2-4=-2$，纵坐标差$0-(-2)=2$，两个差不相等，不是对角点；
对$B_2(-1,-7)$：横坐标差$-1-4=-5$，纵坐标差$-7-(-2)=-5$，差相等且不为0，是对角点；
对$B_3(0,-6)$：横坐标差$0-4=-4$，纵坐标差$-6-(-2)=-4$，差相等且不为0，是对角点。
(2) 设点$B(a,b)$，点B在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当B在y轴上，即$a=0$时，由定义得$0-(-2)=b-4$，解得$b=6$，此时$B(0,6)$，差值为$2≠0$，符合要求；
② 当B在x轴上，即$b=0$时，由定义得$a-(-2)=0-4$，解得$a=-6$，此时$B(-6,0)$，差值为$-4≠0$，符合要求。
(3) 由A、B互为“对角点”得：$m-3=n-(-1)$，整理得$m=n+4$，且$m-3≠0$即$m≠3$，$n+1≠0$即$n≠-1$。
因为B在第四象限，所以$m＞0$，$n＜0$，代入$m=n+4$得：
$\begin{cases}n+4＞0 \\n＜0 \end{cases}$，解得$-4＜n＜0$，结合$n≠-1$，得n的取值范围为$-4＜n＜0$且$n≠-1$。
由$m=n+4$，当$-4＜n＜0$时，$0＜n+4＜4$，即$0＜m＜4$，结合$m≠3$，得m的取值范围为$0＜m＜4$且$m≠3$。
【答案】
(1) $B_2,B_3$
(2) $(0,6)$或$(-6,0)$
(3) $m$的取值范围为$0＜m＜4$且$m≠3$，$n$的取值范围为$-4＜n＜0$且$n≠-1$
【知识点】
新定义理解，点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确把握新定义的规则，第二小问需要用到分类讨论思想，第三小问注意不要遗漏“差值不为0”的限制条件，整体侧重考察对坐标性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 画三角形时，先根据A、B、C三点的坐标在坐标系中找到对应位置，再顺次连接三点即可得到△ABC。
(2) 求关于y轴对称的点坐标，利用“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律直接计算即可。
(3) 求BP+CP的最小值属于“将军饮马”最短路径问题，以y轴为对称轴作点B的对称点B'，根据轴对称性质，BP=B'P，当B'、P、C三点共线时，BP+CP的和最小，最小值为线段B'C的长度，再用勾股定理计算B'C的长度即可。
(4) 求x轴上的Q点坐标时，Q在x轴上所以纵坐标为0，设Q(t,0)，△ABQ的底为BQ的长度|t-2|，高为A点到x轴的距离1，根据三角形面积公式列绝对值方程求解即可得到t的值。
【解析】
(1) 依次在坐标系中描出A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三点，顺次连接A、B、C，得到△ABC如图所示：

(2) 关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，已知C(4,3)，因此点D的坐标为(-4,3)。
(3) 作点B关于y轴的对称点B'，可得B'(-2,0)，由轴对称性质得BP=B'P，因此BP+CP=B'P+CP，当B'、P、C三点共线时，B'P+CP的和最小，最小值为B'C的长度。由勾股定理得：$B'C=\sqrt{(-2-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$。
(4) 设点Q的坐标为$(t,0)$，则$BQ=|t-2|$，△ABQ中BQ边上的高为A到x轴的距离，即OA=1。由三角形面积公式得：$S_{△ ABQ}=\frac{1}{2}·BQ·OA=2$，代入得$\frac{1}{2}×|t-2|×1=2$，即$|t-2|=4$，解得$t=6$或$t=-2$，因此点Q的坐标为$(6,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1)
(2) $(-4,3)$
(3) $\sqrt{45}$
(4) $(6,0)$或$(-2,0)$
【知识点】
轴对称的坐标特征，最短路径问题，坐标系面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖描点画图、对称点坐标求解、最短路径原理以及三角形面积计算，解题的核心是熟练掌握相关基础性质，结合几何原理灵活求解，侧重对基础方法的应用考查。
【难度系数】
0.7