【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先求出线段AB所在直线的解析式，找出线段AB上的所有整点，明确整点总数后就能知道分成的两部分各需要有4个整点；第二步，找到线段AB上两组整点的分界点，光线需要从两个分界点之间穿过AB才能保证两部分整点个数相同；第三步，分别计算光线经过两个分界点时的k值，结合题意判断临界值是否可取，最终得到k的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的函数表达式：
设直线AB的解析式为$y=mx+n$，将$A(-8,6)$、$B(6,-1)$代入得：
$\begin{cases}-8m+n=6\\6m+n=-1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去$n$，得$-14m=7$，解得$m=-\frac{1}{2}$；
将$m=-\frac{1}{2}$代入$-8m+n=6$，得$4+n=6$，解得$n=2$。
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
2. 列举线段AB上的整点：
x取$-8$到$6$之间的偶数，可得整点为$(-8,6)、(-6,5)、(-4,4)、(-2,3)、(0,2)、(2,1)、(4,0)、(6,-1)$，共8个。
要将整点分成个数相同的两部分，每部分各4个，因此光线需从分界点$(-2,3)$和$(0,2)$之间穿过线段AB。
3. 计算临界k值：
将$(-2,3)$代入$y=kx+3k$，得$-2k+3k=3$，解得$k=3$；
将$(0,2)$代入$y=kx+3k$，得$3k=2$，解得$k=\frac{2}{3}$。
若k取临界值，光线会经过分界整点，无法将整点分成数量相等的两部分，因此临界值不可取。
【答案】
$\frac{2}{3}＜k＜3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，整点的定义
【点评】
本题将一次函数动态取值与整点问题结合，解题关键是先准确找出线段上的所有整点，确定分界点后计算临界k值，需注意结合题意判断临界值是否可取，避免出现多写等号的错误。
【难度系数】
0.4

【分析】
（1）求解△OPA的面积，首先确定三角形的底和高：OA在x轴上，点A坐标为(8,0)，因此底OA的长度固定为8；高是动点P到x轴的距离，即P点的纵坐标。由于P在直线y=-x+10上，可将纵坐标用含x的式子表示，代入三角形面积公式即可得到S关于x的函数表达式。再结合P在第一象限内的直线段上，确定x的取值范围。
（2）已知△OPA的面积，将面积值代入（1）中得到的函数表达式，解一元一次方程求出x的值，再将x代入直线解析式求出对应y值，即可得到点P的坐标。
【解析】
（1）对于直线$y=-x+10$：
令$x=0$，得$y=10$，即$C(0,10)$；令$y=0$，得$-x+10=0$，解得$x=10$，即$B(10,0)$。
因为$P(x,y)$是直线$y=-x+10$在第一象限内的动点，所以$x$的取值范围是$0＜x＜10$，且P点纵坐标为$y=-x+10$。
已知点$A(8,0)$，则$OA=8$，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2} × OA × y_P = \frac{1}{2} × 8 × (-x+10) = -4x + 40$
因此$S$关于$x$的函数表达式为$S=-4x+40(0＜x＜10)$。
（2）将$S=24$代入$S=-4x+40$，得：
$-4x + 40 = 24$
解得$x=4$。
将$x=4$代入直线解析式$y=-x+10$，得$y=-4+10=6$。
因此点P的坐标为$(4,6)$。
【答案】
(1) $S=-4x+40(0＜x＜10)$
(2) $(4,6)$
【知识点】
一次函数的图象与性质，三角形面积计算，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，解题核心是将动点的纵坐标用含x的代数式表示，结合面积公式建立函数关系，求解时要注意结合动点位置确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要证明△BEC≌△CDA，首先根据AD⊥ED、BE⊥ED可得一组直角相等，再结合∠ACB=90°，通过同角的余角相等推出一组锐角相等，结合已知BC=CA，即可用AAS判定全等。
（2）点绕原点逆时针旋转90°可借助（1）的全等模型推导坐标变换规律：原坐标为(x,y)时，旋转后坐标为(-y,x)，代入点A、B坐标即可求解。
（3）先求出直线l与x轴、y轴的交点P、E的坐标，再利用（1）的全等模型求出点E绕点P逆时针旋转90°后的对应点E'的坐标，最后用待定系数法代入P、E'坐标即可求出直线l'的解析式。
（4）先根据“上加下减、左加右减”的平移规律求出平移后的直线解析式，再求出平移后直线与x轴、y轴的交点坐标，将这两个点绕原点逆时针旋转90°得到对应点坐标，最后用待定系数法求旋转后的函数解析式即可。
【解析】
（1）证明：$\because AD⊥ ED,BE⊥ ED$，$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ ECB=180°-∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ BEC$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}∠ CEB=∠ ADC\\∠ ECB=∠ DAC\\BC=CA\end{cases}$
$\therefore △ BEC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$。
（2）点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律为$(x,y)\to(-y,x)$：
将$A(3,2)$代入，得$A'$坐标为$(-2,3)$；将$B(-3,4)$代入，得$B'$坐标为$(-4,-3)$。
（3）对于$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$，$\therefore P(2,0)$；令$x=0$，得$y=-4$，$\therefore E(0,-4)$。
设点$E$绕点$P$逆时针旋转90°的对应点为$E'$，过$E'$作$E'F⊥ x$轴于点$F$，同（1）可证$△ E'FP≌△ POE(\mathrm{AAS})$，$\therefore FE'=OP=2$，$FP=OE=4$，$\therefore OF=OP+FP=6$，即$E'(6,-2)$。
设直线$l'$的解析式为$y=kx+b$，将$P(2,0)$、$E'(6,-2)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\6k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=1\end{cases}$，即直线$l'$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1$。
（4）将$y=-2x$先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，根据平移规律得平移后解析式为：$y=-2(x-1)+2=-2x+4$。
令$x=0$得$y=4$，即$G(0,4)$；令$y=0$得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即$H(2,0)$。
将$G$、$H$绕原点逆时针旋转90°，根据坐标变换规律得$G'(-4,0)$，$H'(0,2)$。
设旋转后的直线解析式为$y=k'x+b'$，将$G'(-4,0)$、$H'(0,2)$代入得：
$\begin{cases}b'=2\\-4k'+b'=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2}\\b'=2\end{cases}$，即旋转后所得函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{(-2,3)}$；$\boldsymbol{(-4,-3)}$
(3) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x+1}$
(4) $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+2}$

【知识点】
全等三角形的判定；一次函数图象变换；旋转的性质
【点评】
本题以“一线三垂直”全等模型为核心，逐步拓展到坐标系内点的旋转、一次函数的平移与旋转问题，综合性较强，既考查了几何全等的应用，也考查了一次函数图象变换的规律，引导学生学会将几何模型与代数问题结合，灵活运用规律解题。
【难度系数】
0.6