1. 在中国象棋棋盘的一部分中建立如图所示的平面直角坐标系.若“车”所在位置的坐标为(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为 (
A
)
A.(3,1)
B.(1,3)
C.(4,1)
D.(3,2)
答案：1. A
解析：
【分析】
解题时首先结合已知“车”的坐标，明确平面直角坐标系的正负方向和单位长度：x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每个小方格边长代表1个单位长度。再找到“炮”的位置，分别数出它在x轴正方向的距离得到横坐标，在y轴正方向的距离得到纵坐标，即可确定对应坐标。
【解析】
已知“车”所在位置的坐标为(-2,2)，由此可得：该坐标系中每个小方格的边长为1个单位长度，x轴向右为正、向左为负，y轴向上为正、向下为负，原点O坐标为(0,0)。
观察“炮”的位置：它在原点右侧3个单位长度处，故横坐标为3；在原点上方1个单位长度处，故纵坐标为1。因此“炮”的坐标为(3,1)。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标；坐标确定位置
【点评】
本题结合中国象棋的传统文化背景，考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定方法，解题的核心是根据已知点的坐标明确坐标系的计数规则，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板离地一尺，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几.”此问题可理解如下：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB的长为1尺.将它往前水平推送10尺，即$A'C=10$尺时，秋千的踏板离地距离$A'D$就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA的长为（
D
）
A.14尺
B.13.5尺
C.15尺
D.14.5尺
答案：2. D
解析：
【分析】
这是一道勾股定理结合实际场景的应用题，解题思路如下：首先明确秋千绳索长度始终不变，即OA=OA'，我们可以设绳索长为未知数x；其次梳理各线段的长度关系：静止时踏板离地1尺，推送后踏板离地5尺，可知踏板竖直方向升高了5-1=4尺，因此直角三角形OA'C的竖直直角边OC长度为x减去升高的4尺，水平直角边A'C已知为10尺，斜边为绳索长x；最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设绳索OA的长为x尺，由绳索长度不变得OA'=OA=x尺。
由题意可知：AB=1尺，A'D=5尺，A'C=10尺，且四边形CA'DB为矩形，因此BC=A'D=5尺。
则竖直方向上AC=BC-AB=5-1=4尺，故OC=OA-AC=(x-4)尺。
在Rt△OA'C中，根据勾股定理可得：
$OC^2 + A'C^2 = OA'^2$
代入得：$(x-4)^2 + 10^2 = x^2$
展开计算：$x^2 - 8x + 16 + 100 = x^2$
化简得：$-8x + 116 = 0$
解得：$x=14.5$
即绳索OA的长为14.5尺。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题以传统数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，理清各线段的长度关系，再通过列方程求解，对学生的建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
3. (亮点原创)漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,这是我国古人对函数思想的创造性应用.小亮依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具,研究中发现水位$h$(cm)是时间$t$(min)的一次函数,下表是小亮记录的部分数据,其中有一个$h$值错误,请排除后利用正确的数据确定当$h$为5.6时,对应的时间$t$为
9
.
答案：3. 9
解析：
【分析】
首先明确水位$ h $是时间$ t $的一次函数，可设解析式为$ h=kt+b $（$ k≠0 $）。由于仅存在一个错误的$ h $值，我们可以先选取两组数据求出待定系数$ k $、$ b $，再验证剩余两组数据是否符合所得解析式，即可找出错误数据，确定正确的函数解析式，最后将$ h=5.6 $代入解析式求解对应的$ t $值即可。
【解析】
设一次函数的解析式为$ h = kt + b $（$ k≠0 $）。
选取$ t=1,h=1.6 $和$ t=2,h=2.1 $代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 1.6 \\2k + b = 2.1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k=0.5 $，将$ k=0.5 $代入$ k+b=1.6 $，得$ b=1.6 - 0.5 = 1.1 $，因此初步得到解析式为$ h=0.5t + 1.1 $。
验证剩余数据：
当$ t=3 $时，代入解析式得$ h=0.5×3 +1.1=2.6 $，和表格中$ 2.8 $不符，说明该数据为错误值；
当$ t=5 $时，代入解析式得$ h=0.5×5 +1.1=3.6 $，和表格中数据一致，验证解析式正确。
将$ h=5.6 $代入正确解析式$ h=0.5t +1.1 $，得：
$ 5.6 = 0.5t + 1.1 $
移项计算得$ 0.5t = 4.5 $，解得$ t=9 $。
【答案】
9
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合我国古代漏刻计时工具考查一次函数的实际应用，解题核心是先通过待定系数法结合数据验证排除错误数据，确定正确的函数解析式后再代入求解，体现了传统文化与数学知识的融合应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图①,油纸伞是中国传统工艺品之一,起源于中国的一种纸制或布制伞,油纸伞的制作工艺十分巧妙.如图②,伞圈D沿着伞柄AP滑动时,总有伞骨$BD=CD$,$AB=AC$,从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的$∠BAC$.为了说明这种制作方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图②,A,B,C,D,P五点在同一平面内,
$BD=CD$
,
$AB=AC$
.
求证:
$AP$ 平分$∠ BAC$
.
答案：4. $BD=CD$ $AB=AC$ $AP$ 平分$∠ BAC$
证明如下: 因为 $AB = AC, AD = AD, BD = CD$, 所以$△ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SSS})$. 所以$∠ BAD = ∠ CAD$. 又$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC$, 所以 $AD$ 平分$∠ BAC$, 即$AP$ 平分$∠ BAC$.
解析：
【分析】
首先从题目给出的油纸伞结构信息提取条件，题目明确给出伞骨$BD=CD$、$AB=AC$，需要证明的结论是伞柄$AP$平分$∠ BAC$。要证明一条射线平分一个角，本质是证明该射线把角分成的两个小角相等，本题中$∠ BAD$和$∠ CAD$分别属于$△ ABD$和$△ ACD$，已知两组对应边相等，加上两个三角形的公共边$AD=AD$，即可通过SSS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等得到两个小角相等，从而证明结论。
【解析】
补全已知：$BD=CD$，$AB=AC$
补全求证：$AP$平分$∠ BAC$
证明过程：
$\because AB = AC$，$AD = AD$，$BD = CD$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$
又$\because ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC$
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$AP$平分$∠ BAC$。
【答案】
已知依次填：$BD=CD$，$AB=AC$；求证填：$AP$平分$∠ BAC$。
证明：因为 $AB = AC, AD = AD, BD = CD$, 所以$△ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SSS})$。所以$∠ BAD = ∠ CAD$。又$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAC$, 所以 $AD$ 平分$∠ BAC$, 即$AP$ 平分$∠ BAC$。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合传统油纸伞的结构设计，将生活实际问题转化为几何证明问题，解题关键是找到两个三角形的公共边，利用三边相等判定全等，再通过全等的性质得到角相等，体现了数学在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.8
