【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先观察点P的位置，它既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以可以分别推出PA=PB、PB=PC，进而得到PA=PB=PC。再结合已知条件PA+PB=18，即可求出PC的长度。
【解析】
解：
∵点P在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB。
又
∵点P在BC的垂直平分线上，同理可得PB=PC。
∴PA=PB=PC。
已知PA+PB=18，将PA=PB代入得：2PB=18，解得PB=9。
∴PC=PB=9。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，解题的关键是利用性质推出三条线段PA、PB、PC相等，再结合已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先根据已知条件AB=AC、OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可推出点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O与BC的垂足三点共线。接下来需分类讨论点O的位置：第一种是点O与点A在BC的同侧，第二种是点O与点A在BC的异侧，分两种情况分别计算AO的长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵OB=OC，
∴点O也在BC的垂直平分线上，
∴A、O两点都在BC的垂直平分线上。设BC的垂直平分线交BC于点D，则AD⊥BC，OD⊥BC，由题意得AD=8，OD=3。
分两种情况计算：
①当点O和点A在BC的同侧时，AO=AD-OD=8-3=5；
②当点O和点A在BC的异侧时，AO=AD+OD=8+3=11。
综上，AO的长为5或11，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.点到直线的距离
3.分类讨论思想
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线判定的应用，易错点是容易忽略点O的位置有两种情况，导致漏解，解题时需养成全面分析位置关系的习惯。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。已知点D在AC的垂直平分线上，因此可以得到AD=CD，接下来观察△BCD的周长组成，将其中的CD替换为等量的AD，就能把△BCD的周长转化为BC与AB长度的和，再代入已知的AB长度和△BCD的周长，就能求出BC的长度。
【解析】
解：
∵点D在AC的垂直平分线上
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AD=CD$
∵$△ BCD$的周长为15
∴$C_{△ BCD}=BC+BD+CD=15$
将$CD=AD$代入上式得：
$BC+BD+AD=15$
又
∵$BD+AD=AB=8$
∴$BC+8=15$
解得：$BC=15-8=7$
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，将未知三角形周长和已知的线段长度建立联系，只要熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
看到题目中出现线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线与线段的交点是线段的中点。据此可得AD=CD，CE是AC长度的一半。接下来分析两个三角形的周长：△ABD的周长可通过等量代换转化为AB+BC的长度，再结合△ABC的周长即可求出AC的长度，最后除以2就能得到CE的长。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC
∵△ABD的周长为13
∴$AB+BD+AD=13$
将AD替换为DC，可得：$AB+BD+DC=AB+BC=13$
∵△ABC的周长为19
∴$AB+BC+AC=19$
将$AB+BC=13$代入，得：$13+AC=19$，解得$AC=6$
∴$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质做线段的等量代换，通过两个三角形周长的差快速求出未知线段的长度，解题思路清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先结合折叠的性质思考：折叠前后对应边相等，对应点的连线被折痕垂直平分。求△AED的周长时，可通过折叠性质将未知线段DE转化为DC，将BE转化为BC，把△AED的周长转化为已知边长的和差计算；判断BD和CE的位置关系时，根据轴对称的性质，折痕是对应点连线的对称轴，直接推导二者关系即可。
【解析】
1. 求△AED的周长：
根据折叠的性质可得：$DC=DE$，$BC=BE=7\ \mathrm{cm}$。
先计算$AE$的长度：$AE=AB-BE=AB-BC=10-7=3\ \mathrm{cm}$。
△AED的周长为$AD+DE+AE$，将$DE=DC$代入可得：$AD+DE=AD+DC=AC=6\ \mathrm{cm}$，因此△AED的周长$=AC+AE=6+3=9\ \mathrm{cm}$。
2. 判断BD和CE的位置关系：
折叠后点C和点E关于折痕BD对称，根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，因此BD垂直平分CE。
【答案】
9；BD垂直平分CE
【知识点】
折叠的性质，周长计算，轴对称的性质
【点评】
本题核心是利用折叠的轴对称性质转化线段、推导线段关系，解题的关键是找到折叠前后相等的线段，属于基础题，熟练掌握折叠的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明点E在线段AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明AE=CE即可。首先由AD是BC边上的高可得∠ADB=∠ADE=90°，结合BD=DE、AD为公共边，可通过SAS证明△ADB≌△ADE，得到AB=AE；再利用已知条件AB+BD=DC，结合BD=DE、DC=DE+CE进行等量代换，可推出AB=CE，进而得到AE=CE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB+BD=DC$，$BD=DE$，$DC=DE+CE$，
∴ $AB+DE=DE+CE$，即$AB=CE$。
∵ AD是边BC上的高，
∴ $AD⊥ BC$，$∠ ADB=∠ ADE=90°$。
在$△ ADB$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AD=AD\\∠ ADB=∠ ADE\\BD=DE\end{cases}$
∴ $△ ADB≌△ ADE$（SAS），
∴ $AB=AE$，
∴ $AE=CE$，
∴ 点E在线段AC的垂直平分线上。
【答案】
点E在线段AC的垂直平分线上
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过全等三角形完成线段等量转化，再结合垂直平分线的判定定理得出结论，能帮助学生巩固相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先根据题中的作图方法，可得AC=AD、BC=BD，结合线段垂直平分线的判定定理，可推出AB是CD的垂直平分线，即AB与CD互相垂直；接下来对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入已知的AB长度和四边形面积，即可计算出CD的长度。
【解析】
由作图规则可知：AC=AD，BC=BD，
∴点A、点B均在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，即AB⊥CD，设AB与CD交于点O，
则四边形ADBC的面积 = S△ACB + S△ADB
= $\frac{1}{2}$ × AB × CO + $\frac{1}{2}$ × AB × OD
= $\frac{1}{2}$ × AB × (CO+OD)
= $\frac{1}{2}$ × AB × CD
将AB=10，四边形ADBC面积=65代入得：
$\frac{1}{2}$ × 10 × CD = 65
解得CD=13。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线的性质与应用，解题的关键是根据作图特征判断出两条对角线互相垂直，再结合面积公式求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7