【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先观察图形，点D在AB的垂直平分线OM上，点E在AC的垂直平分线ON上，点O是两条垂直平分线的交点，由此可以得到多组相等的线段：$DA=DB$，$EA=EC$，$OA=OB=OC$。接下来先利用$△ ADE$的周长，通过等量代换求出BC的长度；再结合$△ OBC$的周长，将OB、OC替换为OA，即可求出OA的长度。
【解析】
$\because$ OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
$\therefore$ 根据线段垂直平分线的性质可得：$DA=DB$，$EA=EC$，$OA=OB$，$OA=OC$，即$OB=OC=OA$。
$\because$ $△ ADE$的周长为13 cm，
$\therefore$ $DA + DE + EA = 13\ \mathrm{cm}$，
将$DA$替换为$DB$，$EA$替换为$EC$，可得$DB + DE + EC = 13\ \mathrm{cm}$，即$BC=13\ \mathrm{cm}$。
$\because$ $△ OBC$的周长为28 cm，
$\therefore$ $OB + OC + BC = 28\ \mathrm{cm}$，
把$BC=13\ \mathrm{cm}$、$OB=OC=OA$代入上式得：$OA + OA + 13 = 28\ \mathrm{cm}$，
即$2OA=15\ \mathrm{cm}$，解得$OA=7.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题目，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知线段与已知的三角形周长建立关联，进而求解未知线段长度，解题时要注意准确找到相等的线段，避免代换错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，结合△BEC的周长和AB的长度先求出BC的长；再利用点P在AC的垂直平分线上，得到PA=PC，将|PA-PB|转化为|PC-PB|；最后根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知当P、B、C三点共线时，|PC-PB|取得最大值，等于BC的长度，即可得到结果。
【解析】
解：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC。
∵△BEC的周长为18，
∴$BE+EC+BC=18$，
将EC替换为AE，可得$BE+AE+BC=AB+BC=18$，
又
∵$AB=10$，
∴$BC=18-AB=18-10=8$。
连接PC，
∵点P在AC的垂直平分线EF上，
∴$PA=PC$，
∴$|PA-PB|=|PC-PB|$。
根据三角形三边关系，在△PBC中，$|PC-PB|＜BC$，
当且仅当P、B、C三点共线（即P为直线EF与直线BC的交点）时，$|PC-PB|=BC=8$，
因此$|PA-PB|$的最大值为8。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系；几何最值求解
【点评】
本题是几何最值类的典型习题，解题的核心是通过线段垂直平分线的性质对所求线段差进行等价转化，再结合三角形三边关系确定最值的取等条件，能够有效考查学生的转化思想和几何推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题首先从已知条件“直线m是BC的垂直平分线”入手，根据线段垂直平分线的性质，可得点P到B、C的距离相等，即PB=PC。接下来分析△APC的周长构成：周长=PA+PC+AC，其中AC长度固定为7，因此要让周长最小，只需让PA+PC的和最小。将PC替换为PB，问题就转化为求PA+PB的最小值，根据“两点之间线段最短”，当A、P、B三点共线时，PA+PB的和最小，最小值等于AB的长度，最后代入计算即可得到周长的最小值。
【解析】
解：
∵直线m是边BC的垂直平分线，P是直线m上的动点，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$PB=PC$。
△APC的周长为：$C_{△ APC}=PA+PC+AC$，
已知$AC=7$是定值，因此当$PA+PC$的值最小时，△APC的周长最小。
将PC替换为PB，可得$PA+PC=PA+PB$，
根据两点之间线段最短，$PA+PB≥ AB$，当且仅当P落在AB与直线m的交点时，等号成立，此时$PA+PB$的最小值为$AB=8$。
∴△APC周长的最小值为$AB+AC=8+7=15$。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】
本题是线段垂直平分线性质和最短路径结合的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成相等线段的转化，将分散的线段和转化为两点之间的线段长度求解，解题时要注意先识别周长中的定值部分，再对可变部分求最值。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路可分为四步：1. 先分析已知条件：D是AB中点且DE⊥AB，由线段垂直平分线的性质可直接得到AE=BE，得到第一组相等线段。2. 结合∠ACE+∠BCE=180°的条件，利用平角的性质可知∠ACE和∠BCE的邻补角相等，即CE为角平分线，此时可过E作BC延长线的垂线EH，构造全等三角形的模型。3. 先证明△ECF和△ECH全等，得到CF=CH、EF=EH，再结合AE=BE的结论证明Rt△AEF和Rt△BEH全等，推导出AF=BH的边的关系。4. 最后结合AC、BC的已知长度，得到关于AF和CF的两个等式，联立求解即可得到AF的长度。
【解析】
解：连接AE、BE，过点E作$EH⊥ BC$，交BC的延长线于点H，
则$∠ BHE=∠ CHE=90°$，$∠ BCE+∠ HCE=180°$。
∵ D是AB的中点，$DE⊥ AB$，
∴ DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得$AE=BE$。
∵ $∠ ACE+∠ BCE=180°$，
∴ $∠ ACE=∠ HCE$（同角的补角相等）。
∵ $EF⊥ AC$，
∴ $∠ AFE=∠ CFE=90°$，即$∠ BHE=∠ AFE=∠ CFE=∠ CHE$。
在$△ ECF$和$△ ECH$中：
$\{\begin{array}{l}∠CFE=∠CHE \\∠FCE=∠HCE \\CE=CE\end{array} $
∴ $△ ECF≌△ ECH$（AAS），
∴ $CF=CH$，$EF=EH$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$和$\mathrm{Rt}△ BEH$中：
$\{\begin{array}{l}AE=BE \\EF=EH\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ BEH$（HL），
∴ $AF=BH$。
∵ $AC=12$，$BC=8$，
∴ $AF+CF=AC=12$ ①，
$BH-CH=BC=8$，
又
∵ $BH=AF$，$CH=CF$，
∴ $AF-CF=8$ ②。
①+②得：$2AF=20$，解得$AF=10$。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是合理构造辅助线建立全等三角形模型，将分散的已知线段条件和待求线段关联起来，考察了基础几何性质的综合运用能力，对提升几何逻辑推理和辅助线构造意识有很大帮助。
【难度系数】
0.4

【分析】
（1）求∠APB的度数时，看到点P在两条边的垂直平分线上，首先根据线段垂直平分线的性质，连接PC可得PB=PC、PA=PC，得到等腰三角形的等角关系，再利用四边形内角和为360°，即可推导∠APB和已知∠ACB的关系求解。
（2）探究三条线段的数量关系时，已知P在∠BAM的平分线上且PH⊥AB，根据角平分线的性质，过P作AM的垂线PD，可得PH=PD、AH=AD；再结合P在BC垂直平分线上得到PB=PC，证明直角三角形全等得到BH=CD，最后通过线段的和差转化即可得出三者的数量关系。
【解析】
（1）连接PC。
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴$PB=PC$，
∴$∠PBC=∠PCB$。
同理，点P在边AC的垂直平分线上，
∴$PA=PC$，
∴$∠PAC=∠PCA$。
∴$∠PBC+∠PAC=∠PCB+∠PCA=∠ACB$。
已知$∠ACB=110°$，四边形PBCA的内角和为360°，
∴$∠APB=360°-(∠PBC+∠PAC+∠ACB)=360°-2∠ACB=360°-2×110°=140°$。
（2）线段AB、AH、AC的数量关系是$\boldsymbol{AB=AC+2AH}$，理由如下：
过点P作$PD⊥AM$于点D，连接PC。
∵点P在$∠BAM$的平分线上，$PH⊥AB$，$PD⊥AM$，
∴$∠PAH=∠PAD$，$∠AHP=∠ADP=90°$，
又
∵$PA=PA$，
∴$△PAH≌△PAD$（AAS），
∴$AH=AD$，$PH=PD$。
∵点P在边BC的垂直平分线上，
∴$PB=PC$。
在$\mathrm{Rt}△PBH$和$\mathrm{Rt}△PCD$中：
$\{\begin{array}{l}PB=PC\\ PH=PD\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△PBH≌\mathrm{Rt}△PCD$（HL），
∴$BH=CD$。
∵$CD=AC+AD$，$BH=AB-AH$，且$AH=AD$，
∴$AB-AH=AC+AH$，整理得$AB=AC+2AH$。
【答案】
(1) $∠ APB=140°$；
(2) 数量关系为$AB=AC+2AH$，辅助线如下：

【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合探究题，结合了线段垂直平分线、角平分线的性质和全等三角形的应用，解题的核心是根据已知性质合理构造辅助线，通过边角相等关系转化线段、推导角度，能有效考察几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
遇到线段垂直平分线相关问题，首先联想到垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此先作辅助线连接AE、AG，将BE转化为AE、CG转化为AG，此时以BE、EG、CG为三边的三角形即为△AEG，可得其面积为8。接下来分析△ABC的面积构成：它由△ABE、△AGC、△AEG三个三角形组成，再结合三角形三边关系可知BE+CG＞EG，可推导出△ABE与△AGC的面积之和大于△AEG的面积，最终得到△ABC的面积大于16，对比选项选出符合条件的结果即可。
【解析】
解：连接AE，AG。
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得$AE=BE$。
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴同理可得$AG=CG$。
∴△AEG的三边长分别为$AE=BE$、$EG$、$AG=CG$，即△AEG就是以BE、EG、CG为三边的三角形，因此$S_{△ AEG}=8$。
根据三角形三边关系可知$AE+AG＞EG$，即$BE+CG＞EG$，由此可得$S_{△ AEB} + S_{△ AGC} ＞ S_{△ AEG}=8$。
又
∵$S_{△ ABC}=S_{△ AEB} + S_{△ AGC} + S_{△ AEG}$，
∴$S_{△ ABC} ＞ 8 + 8 = 16$。
观察选项，只有18满足大于16的条件。
【答案】D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是通过作辅助线利用垂直平分线的性质转化线段，将分散的三条边整合到同一个三角形中，再结合面积关系推导取值范围，对几何图形的转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决△CDM周长最小值的问题，首先拆分周长组成：△CDM的周长=CD+DM+CM，先确定定值部分：已知BC=4，D是BC中点，因此CD=2是固定不变的，所以只需找到DM+CM的最小值即可。接下来结合条件分析：EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此点M在EF上时，CM=AM，即可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值就是线段AD的长度。最后结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求出AD的长度，加定值CD即可得到周长最小值。
【解析】
解：连接AM，AD。
∵EF垂直平分AC，
∴AM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵D为BC的中点，BC=4，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=2。
∴$C_{△ CDM}=CD+DM+CM=2+DM+AM$，
因此当DM+AM的值最小时，△CDM的周长最小。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为AD的长。
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
已知$S_{△ ABC}=16$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD$，
代入得$16=\frac{1}{2}×4× AD$，解得AD=8。
∴△CDM周长的最小值为$2+8=10$。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心解题思路是通过线段垂直平分线的性质做等量转化，将两条动线段的和转化为共端点的线段之和，再结合两点之间线段最短确定最小值位置，最后结合等腰三角形性质和面积公式求解，能很好地考察学生的转化思想和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7