【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°即BD垂直于AB，DE垂直于AC，说明点D在∠BAC的角平分线上，BD是点D到AB边的距离，DE是点D到AC边的距离。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可直接推出DE和BD长度相等，代入已知BD的长度即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=BD，
∵BD=4，
∴DE=4，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离对应哪两条线段，熟记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先将实际问题转化为数学问题：要在△ABC内部找一点，使得该点到三角形三边的距离相等。接下来回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之到角两边距离相等的点在角的平分线上，由此可推导出到三边距离相等的点是三条角平分线的交点。最后逐一核对其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
本题可将实际需求转化为：在△ABC内找一点，使该点到△ABC三边的距离相等。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。
到AB、AC两边距离相等的点，在∠A的角平分线上；
到AB、BC两边距离相等的点，在∠B的角平分线上；
到AC、BC两边距离相等的点，在∠C的角平分线上。
因此同时满足到三边距离相等的点，是△ABC三条角平分线的交点。
再排除错误选项：
A. 三条高线的交点没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
B. 三条中线的交点的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不符合要求；
D. 三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而非到三边的距离相等，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查角平分线性质的实际应用，解题的关键是准确区分三角形不同特殊交点的性质，避免将角平分线与垂直平分线、中线、高线的交点性质混淆。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC，因此点O到△ABC另外两边AB、AC的距离都等于OD的长度3。接下来我们可以把△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，这三个小三角形的高都等于3，底分别对应△ABC的三边，结合已知的△ABC面积，就可以求出三边之和即周长。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD = 3。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\75&=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF\\75&=\frac{1}{2}×3×(AB + BC + AC)\end{aligned}$
解得：$AB + BC + AC = \frac{75×2}{3}=50$，即△ABC的周长为50。
【答案】
50
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过拆分大三角形面积建立面积与周长的关系，巧妙避开了单独求各边长度的复杂计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点D到AC、AB两边的距离相等。观察△ACD和△ABD，分别以AC、AB为底时，对应的高就是D到两边的距离，高相等时三角形的面积比等于底边长的比，再结合已知的面积比和AC的长度，即可求出AB的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质，DC=DE。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DC$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，
∵DC=DE，
∴$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=AC:AB=4:5$，
将AC=8cm代入得：$8:AB=4:5$，
解得$AB=\frac{8 × 5}{4}=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，解题核心是通过角平分线的性质得到两个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，巧妙简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可判断点O是△ABC三条角平分线的交点，因此BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到AB、BC、AC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠A=70°，由三角形内角和为180°可得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，
在△OBC中，再由三角形内角和为180°可得：
∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°。
【答案】
125
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是通过点到三边距离相等推出点是三角形角平分线的交点，再结合内角和公式逐步计算，这类题型是角平分线章节的常考题型，需要熟练掌握推导逻辑。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要使BM=CM，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点M既在BC的垂直平分线上，又在AC上，因此只需作出BC的垂直平分线，它与AC的交点就是所求的点M。
（2）要使△ABN和△CDN的面积相等，已知AB=CD，结合三角形面积公式可知，只需点N到AB、CD的距离相等即可。根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可先延长BA、CD得到二者的夹角，再作该夹角的角平分线，它与AC的交点就是所求的点N。
【解析】
（1）用尺规作出线段BC的垂直平分线，该垂直平分线与对角线AC的交点即为点M；
（2）分别延长BA、CD交于点P，用尺规作出∠BPC的角平分线，该角平分线与对角线AC的交点即为点N。
【答案】
6. (1) 如图①,点 M 即为所作。
(2) 如图②,点 N 即为所作。
【知识点】
线段垂直平分线性质，角平分线性质，尺规作图
【点评】
本题结合基础几何性质考查尺规作图的应用，需要学生根据所求条件反向推导作图依据，能有效检验对线段垂直平分线、角平分线相关性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先结合已知的两条角平分线条件，联想到角平分线的性质，可通过过点P向三角形三边作垂线段，证明垂线段相等，进而判定AP是△ABC外角∠CAE的平分线；再利用三角形外角的性质，推导∠BPC与∠BAC的数量关系，先求出∠BAC的度数，最后结合邻补角的性质和角平分线的定义即可求出∠CAP的度数。
【解析】
过点P分别作$PE⊥AB$，交BA的延长线于点E，作$PF⊥AC$于点F，作$PG⊥BD$于点G。
∵BP平分$∠ABC$，CP平分$∠ACD$，
∴$∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCD=\frac{1}{2}∠ACD$，根据角平分线的性质可得$PE=PG$，$PF=PG$，
∴$PE = PF$，
∴AP平分$∠CAE$（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即$∠CAP = \frac{1}{2}∠CAE$。
∵$∠ACD$是$△ABC$的外角，
∴$∠ACD = ∠BAC + ∠ABC$，
等式两边同乘$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}∠ACD = \frac{1}{2}∠BAC + \frac{1}{2}∠ABC$，即$∠PCD = ∠PBC + \frac{1}{2}∠BAC$。
又
∵$∠PCD$是$△PBC$的外角，
∴$∠PCD = ∠PBC + ∠BPC$，
对比两式可得$∠BPC = \frac{1}{2}∠BAC$。
已知$∠BPC = 40°$，
∴$∠BAC = 2×40°=80°$。
∵$∠BAC$与$∠CAE$互为邻补角，
∴$∠CAE=180°-∠BAC=180°-80°=100°$，
∴$∠CAP=\frac{1}{2}∠CAE=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】C
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形外角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是角平分线相关性质的典型综合题，解题的核心是通过作垂线段的辅助线，利用角平分线的性质和判定得到AP为外角平分线，同时要熟练掌握三角形外角与内角的数量关系，能快速建立已知角和待求角之间的联系。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作$PE⊥OA$于E，构造出和$\mathrm{Rt}△OPN$全等的直角三角形，先求出OE的长度以及MN的长度。接下来已知$PD=PM$，可通过HL证明$\mathrm{Rt}△PMN$和$\mathrm{Rt}△PDE$全等，得到$DE=MN$，注意点D在OA上的位置有两种情况：一种是在线段OE上，另一种是在射线EA上，分两种情况计算OD的长度即可。
【解析】
过点P作$PE⊥OA$于点E。
∵OC是$∠AOB$的平分线，$PN⊥OB$，$PE⊥OA$，
∴$PE=PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△OPE$和$\mathrm{Rt}△OPN$中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PE=PN\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△OPE≌\mathrm{Rt}△OPN(\mathrm{HL})$，
∴$OE=ON=5$。
已知$OM=3$，$ON=5$，
∴$MN=ON-OM=5-3=2$。
分两种情况讨论：
①当点D在线段OE上时：
在$\mathrm{Rt}△PMN$和$\mathrm{Rt}△PDE$中，
$\{\begin{array}{l}PM=PD\\ PN=PE\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△PMN≌\mathrm{Rt}△PDE(\mathrm{HL})$，
∴$DE=MN=2$，
∴$OD=OE-DE=5-2=3$。
②当点D在射线EA上时：
同理可证$\mathrm{Rt}△PMN≌\mathrm{Rt}△PDE(\mathrm{HL})$，得$DE=MN=2$，
∴$OD=OE+DE=5+2=7$。
综上，OD的长为3或7。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；直角三角形全等的判定；分类讨论思想
【点评】本题重点考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，同时要注意对点D的位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】0.6

【分析】
本题要求BE的长度，已知角平分线和垂直条件，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过点D作AB的垂线DF，构造出相等的线段DE=DF；再结合已知DA=DC，可证明对应的直角三角形全等，得到线段CE和AF相等；另外BD为公共边，还可证明Rt△DEB和Rt△DFB全等，得到BE=BF，最后设BE为未知数，根据CE=AF列方程即可求解。
【解析】
过点D作$DF⊥AB$，垂足为F。
∵BD是$∠ABP$的平分线，$DE⊥BP$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△DEC$和$\mathrm{Rt}△DFA$中，
$\{\begin{array}{l}DC=DA\\ DE=DF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△DEC≌\mathrm{Rt}△DFA(\mathrm{HL})$，
∴$CE = AF$。
在$\mathrm{Rt}△DEB$和$\mathrm{Rt}△DFB$中，
$\{\begin{array}{l}DB=DB\\ DE=DF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△DEB≌\mathrm{Rt}△DFB(\mathrm{HL})$，
∴$BE = BF$。
设 $BE = x$，则 $BF = x$，
∵$BC = 3$，$AB=5$，
∴$CE=BE+BC=x+3$，$AF=AB-BF=5-x$，
由$CE=AF$可得：$x+3=5-x$，
解得 $x=1$，即BE的长为1。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，构造辅助线得到全等三角形是解题的突破口，需要熟练掌握相关性质和判定定理，同时能结合线段的和差关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6