【分析】
本题围绕新定义“等角分割线”展开，解题核心是先明确定义：等腰三角形中，过底角顶点的射线分该底角得到的两个角中，有一个等于等腰三角形的顶角，即为等角分割线。
(1) 证明题可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角的性质，推导得到BD分∠ABC得到的∠DBC等于顶角∠A，即可证明结论。
(2) 已知BD⊥AC且是等角分割线，先利用等腰三角形性质用∠C表示出顶角∠A，再结合直角三角形的角的关系表示出BD分∠B得到的两个角，分两种情况讨论：①∠A=∠ABD；②∠A=∠DBC，求解后验证是否符合三角形内角和定理，排除矛盾的情况即可。
(3) 需分两种情况讨论：①BD分∠B得到的∠DBC=∠BAC；②BD分∠B得到的∠ABD=∠BAC，结合角平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，设未知数表示出相关角，根据三角形内角和或直角三角形两锐角互余列方程求解，最终得到两个符合条件的∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∵ BD=BC，
∴ ∠BDC=∠C，
∴ ∠ABC=∠BDC，
又
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴ ∠A=∠DBC，符合“等角分割线”的定义，
∴ BD是△ABC的“等角分割线”。
(2) 解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
由三角形内角和为180°得：∠A=180°-2∠C，
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BDC=∠BDA=90°，
由外角性质得：∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDA=∠DBC+∠C，
∴ ∠ABD=∠BDC - ∠A = 90°-(180°-2∠C)=2∠C-90°，
∠DBC=90°-∠C，
∵ BD是△ABC的“等角分割线”，分两种情况讨论：
① 当∠A=∠ABD时：
180°-2∠C=2∠C-90°，
解得∠C=67.5°；
② 当∠A=∠DBC时：
180°-2∠C=90°-∠C，
解得∠C=90°，此时∠BDC=90°，∠BDC+∠C=180°，不符合三角形内角和定理，舍去。
综上，∠C=67.5°。
(3) 解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，连接CF，分两种情况：
① 当∠DBC=∠BAC时：
∵ AB=AC，AE平分∠BAC，
∴ AE⊥BC，∠BAE=∠CAE，BE=CE（等腰三角形三线合一），即AE垂直平分BC，
∴ FB=FC，
∴ ∠DBC=∠FCB，
设∠BAE=∠CAE=x，则∠DBC=∠BAC=2x，
∴ ∠FCB=2x，
由外角性质得∠DFC=∠DBC+∠FCB=4x，
∵ DF=DC，
∴ ∠DCF=∠DFC=4x，
∴ ∠ACE=∠DCF+∠FCB=6x，
在Rt△AEC中，∠ACE+∠CAE=90°，
即6x + x = 90°，解得$x=(\frac{90}{7})°$，
∴ $∠BAC=2x=(\frac{180}{7})°$；
② 当∠ABD=∠BAC时：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=∠CAE，
设∠BAE=∠CAE=y，则∠ABD=∠BAC=2y，
由外角性质得∠FDC=∠BAC+∠ABD=4y，
在△ABF和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAF=∠ CAF\\ AF=AF\end{array} $
∴ △ABF≌△ACF（SAS），
∴ ∠ACF=∠ABD=2y，
∵ DF=DC，
∴ ∠DFC=∠DCF=2y，
在△DFC中，由内角和定理得：
∠FDC+∠DFC+∠DCF=180°，
即4y+2y+2y=180°，解得y=22.5°，
∴ ∠BAC=2y=45°。
综上，∠BAC的度数为$45°或(\frac{180}{7})°$。
【答案】
(1) BD是△ABC的“等角分割线”，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠C=67.5°}$；
(3) $\boldsymbol{45°或(\frac{180}{7})°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和与外角性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以新定义“等角分割线”为载体，综合考查了等腰三角形、三角形角的关系、全等三角形等核心知识，解题过程中需要运用分类讨论思想，对“等角分割线”的两种情况分别分析，同时要注意对求解结果进行合理性检验，避免出现不符合三角形性质的错解、漏解。
【难度系数】
0.4
