【分析】
解题时先从已知的角度关系入手，结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可推出∠DAC=∠C，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定得到AD=DC。最后计算△ABD的周长时，将AD替换为DC，即可把周长转化为已知长度的AB与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DAC，
又
∵ ∠ADB = 2∠C，
∴ 2∠C = ∠C + ∠DAC，即∠DAC = ∠C，
∴ AD = DC（等角对等边），
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
将AD替换为DC，可得：
周长 = AB + BD + DC = AB + BC，
代入AB=5，BC=6，得周长=5+6=11。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；周长计算
【点评】
本题解题的核心是通过角度关系推导得到AD=DC，实现未知边的转化，避免了单独计算各边长度的繁琐步骤，是几何中转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和算出△ABC两个底角的度数；再根据角平分线的定义得到相等的角，通过角度计算找到图中的等腰三角形，利用“等角对等边”得到线段间的等量关系，最终通过等量代换求出AD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴$∠ ABD=∠ A=36°$，
∴$AD=BD$（等角对等边），
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ BDC=∠ C$，
∴$BD=BC$（等角对等边），
∴$AD=BD=BC=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题考查等腰三角形性质与判定的综合应用，解题核心是通过角度推导得到等角，进而得到相等的线段，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”是解题关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证明$△ GEC$是等腰三角形，可通过证明它的两个底角相等推导。题目给出了$△ ABC$和$△ DFE$三组对应边相等，可先通过SSS判定两三角形全等，得到对应角$∠ ACB=∠ DEF$，再根据等角对等边即可推出$△ GEC$为等腰三角形。
（2）判断$AD$与直线$l$的位置关系，可结合（1）的结论先推导$AG=DG$，得到$∠ GAD=∠ GDA$，再结合对顶角相等、三角形内角和定理推导内错角相等，即可判断两直线的位置关系。
【解析】
（1）证明：在$△ ABC$和$△ DFE$中：
$\begin{cases}AB=DF \\AC=DE \\BC=EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DEF$，
$\therefore GE=GC$（等角对等边），
$\therefore △ GEC$是等腰三角形。
（2）由（1）可知$∠ ACB=∠ DEF$，$\therefore GC=GE$，
$\because AC=DE$，
$\therefore AC-GC=DE-GE$，即$AG=DG$，
$\therefore ∠ GAD=∠ GDA$。
在$△ AGD$中，$∠ GAD+∠ GDA+∠ AGD=180°$，
在$△ GEC$中，$∠ GEC+∠ GCE+∠ CGE=180°$，
又$\because ∠ AGD=∠ CGE$（对顶角相等），
$\therefore 2∠ GDA=2∠ GEC$，即$∠ GDA=∠ GEC$，
$\therefore AD// l$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{AD// l}$
【知识点】
SSS证全等、等腰三角形的判定、平行线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，将全等三角形、等腰三角形、平行线的判定结合考查，解题关键是先通过三边相等证明三角形全等得到对应角相等，再逐步推导后续结论，解题逻辑清晰，符合常规几何题的推导思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
当遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的条件时，可通过延长垂线构造全等三角形整合已知条件。本题先延长BD交AC于点E，首先利用CD平分∠ACB且BD⊥CD，证明△BCD与△ECD全等，得到BC=EC、BD=DE；再结合∠A=∠ABD，利用等角对等边得到AE=BE，最后将AC拆分为AE与EC的和，代入数值计算即可。
【解析】
延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$.
因为 $∠ A =∠ ABD$，根据等角对等边可得 $AE = BE$.
又 $BD⊥ CD$，所以$∠ CDB=∠ CDE=90°$.
因为 $CD$ 平分$∠ ACB$，所以$∠ BCD=∠ ECD$.
在$△ BCD$和$△ ECD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCD=∠ ECD \\CD=CD \\∠ CDB=∠ CDE\end{array} $
所以$△ BCD≌△ ECD$(ASA).
由全等三角形的性质得：$BD=ED,BC=EC$.
因此$BE=BD+ED=2BD$，已知$BD=1$，所以$AE=BE=2×1=2$.
又$BC=3$，所以$EC=BC=3$.
因此$AC=AE+EC=2+3=5$.
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形性质的综合应用类题目，解题关键是根据角平分线和垂直的特征构造全等三角形，将所求线段转化为两段易求线段的和，较好地考查了辅助线构造能力和知识灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先结合已知条件推导角的等量关系：首先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到∠BAD=∠ADE，通过等量代换可知△ADE中∠ADE=∠CAD，最后依据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到DE与AE的长度相等，代入AE的数值即可求出DE的长。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠CAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE = ∠CAD，
∴△ADE是等腰三角形，即AE=DE，
又
∵AE=5，
∴DE=5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，综合考查了角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题核心是通过角的等量代换推出等角，进而得到边的等量关系，难度较低。
【难度系数】
0.85

【分析】
（1）要证明$BE=EF$，直接证明两条边相等的条件不足，结合等腰三角形“三线合一”的性质，$AD$是$BC$的垂直平分线，因此连接$CE$，先证$△ ABE≌△ ACE$得到$BE=CE$，再结合已知角相等的条件推导$∠ EFC=∠ ACE$，利用等角对等边得$CE=EF$，即可完成证明。
（2）要探究$BD$和$AE$的数量关系，已知$D$是$BC$中点，可得$BC=2BD$，因此只需证明$AE=BC$即可。结合已知角度条件，先推导$△ ABF$为等腰直角三角形得$AF=BF$，再利用同角的余角相等得到对应角相等，结合直角相等证明$△ AFE≌△ BFC$，即可得到$AE=BC$，进而推出$AE$与$BD$的关系。
【解析】
（1）证明：连接 $CE$.
$\because AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$，即$∠ BAE = ∠ CAE$.
在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠ BAE=∠ CAE \\AE=AE\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore BE=CE$，$∠ ABE=∠ ACE$.
又$\because ∠ ABE=∠ EFC$，
$\therefore ∠ EFC=∠ ACE$，
$\therefore CE=EF$，
$\therefore BE=EF$.
（2）$AE=2BD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BC=2BD$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ CAD+∠ C=90°$.
又$\because ∠ ABE = ∠ BAC = 45°$，
$\therefore ∠ AFB=180°-∠ ABE-∠ BAC=90°$，即$BF⊥ AC$，$AF = BF$，
$\therefore ∠ C+∠ CBF=90°$，$∠ AFE = ∠ BFC = 90°$.
$\therefore ∠ CBF =∠ CAD$（同角的余角相等）.
在$△ AFE$和$△ BFC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ EAF=∠ CBF \\AF=BF \\∠ AFE=∠ BFC\end{array} $
$\therefore △ AFE≌△ BFC(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=BC$，
又$\because BC=2BD$，
$\therefore AE=2BD$.
【答案】
（1）$BE=EF$，证明见解析；
（2）$\boldsymbol{AE=2BD}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，解题核心是灵活运用等腰三角形三线合一的性质得到边角等量关系，第一问通过作辅助线构造全等三角形实现边的转化，第二问通过角度推导得到全等所需的条件，解题时注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求AB的长度，已知AE=3，可先通过构造全等三角形将AE转化为AB上的线段，再结合面积条件求剩余线段长度。首先由AD=AC、公共角∠A、直角条件，可过点C作CF⊥AB于F，证△ADE与△ACF全等，得到AE=AF=3，且两个三角形面积相等，进而推出四边形BDEC的面积等于△BCF的面积。再结合∠B=45°可知△BCF是等腰直角三角形，利用其面积求出BF的长度，最后相加即可得到AB的长。
【解析】
过点$C$作$CF⊥ AB$于点$F$，则$∠ CFA=∠ CFB=90°$。
在$Rt△ CFB$中，$∠ B+∠ BCF=90°$，已知$∠ B=45°$，所以$∠ BCF=90°-45°=45°$，即$∠ BCF=∠ B$，因此$BF=CF$。
因为$DE⊥ AC$，所以$∠ DEA=90°=∠ CFA$。
在$△ ADE$和$△ ACF$中：
$\{\begin{array}{l}∠DEA=∠CFA\\∠A=∠A\\AD=AC\end{array} $
所以$△ ADE≌△ ACF$（AAS）。
由全等性质可得$AE=AF=3$，$S_{△ ADE}=S_{△ ACF}$。
因此$S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = S_{△ ABC} - S_{△ ACF}$，即$S_{△ BCF}=S_{四边形BDEC}=8$。
因为$S_{△ BCF}=\frac{1}{2} BF·CF$，且$BF=CF$，代入得$\frac{1}{2} BF^2=8$，解得$BF=4$（长度为正，舍去负值）。
所以$AB=AF+BF=3+4=7$。
【答案】B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何中面积与线段长度结合的典型题型，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，将未知的四边形面积转化为规则等腰直角三角形的面积，串联已知条件求解。
【难度系数】
0.6