【分析】
解题时首先要明确等边三角形的定义及判定定理，再结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质，对4种情况逐一判断即可得出结论。首先回忆等边三角形的判定依据：1. 三边相等的三角形是等边三角形；2. 三个角都相等的三角形是等边三角形；3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，接下来逐个对应验证即可。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
① 三角形内角和为$180°$，若两个角等于$60°$，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个角都为$60°$，因此是等边三角形；
② 根据等边三角形的判定定理，有一个角等于$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此该情况符合要求；
③ 三个角都相等的三角形，每个角的度数为$180°÷3=60°$，满足等边三角形的角的特征，是等边三角形；
④ 三边都相等的三角形是等边三角形的定义，因此该情况也符合要求。
综上，①②③④都是等边三角形，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对等边三角形的定义、判定定理进行检验，解题时注意结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理辅助判断，熟练掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手：等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高同时是顶角的角平分线和底边的中线（三线合一），由此可求出∠BAD的度数；再利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到EA=EB，结合等边对等角推出∠EBA和∠BAD相等，最后用∠ABC的度数减去∠EBA的度数，即可求出∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴EA=EB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠EBA=∠BAD=30°（等边对等角），
∴$∠ EBD=∠ ABC-∠ EBA=60°-30°=30°$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，考查多个基础性质的综合运用，解题关键是熟练掌握相关性质，准确找到角度之间的等量关系，是等边三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先梳理已知条件：①四边形ABCD是正方形且AD=4，可得到∠BAD=90°，AD的长度为4；②△ADE是等边三角形，可得到AE=AD=4，∠EAD=60°；③EF⊥AB，说明△AEF是直角三角形。接下来先计算∠EAF的度数，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=4，
∴∠BAD=90°，AD=4，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=4，∠EAD=60°，
∴∠EAF=∠BAD - ∠EAD=90°-60°=30°，
又
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，即△AFE是直角三角形，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$EF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊图形性质的综合应用题，解题的关键是结合正方形和等边三角形的性质求出30°的特殊角，再利用直角三角形的性质计算，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°。由已知△ABC是等边三角形，可推出AB=AC=BC，结合AB=CD的条件，能得到AC=CD、BC=CD，即△ACD和△BCD均为等腰三角形。先根据∠BAD的度数求出∠CAD的度数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质，分别求出∠CDA和∠CDB的度数，最后通过角度的差量计算得到∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
又
∵AB=CD，
∴AC=BC=CD。
∵∠BAD=105°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=105°-60°=45°。
在△ACD中，AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-45°-45°=90°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+90°=150°。
在△BCD中，BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=(180°-∠BCD)÷2=(180°-150°)÷2=15°，
∴∠ADB=∠CDA-∠CDB=45°-15°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过等边三角形的三边相等推导出两个等腰三角形，再结合角度的和差关系求解，需要学生理清各个角之间的数量关系，避免混淆角的构成。
【难度系数】
0.65

【分析】
解题时先从等腰三角形DE=CE的性质入手，得到∠EDC=∠C，结合已知∠EDC=∠BAC，推出∠BAC=∠C；再结合∠B=60°，利用三角形内角和可判定△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC，三个内角均为60°；接下来利用D是BC中点得到DC=1/2BC，再由∠EDC=∠C=60°判定△EDC是等边三角形，得到EC=DC，进而推导出EC与AC的数量关系，最后计算AE与AB的比值即可。
【解析】
解：
1. 由DE=CE，根据等边对等角可得∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠BAC，
∴∠BAC=∠C，
在△ABC中，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，得∠BAC+∠C=180°-60°=120°，
∴∠BAC=∠C=60°，即△ABC的三个内角均为60°，
∴△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC。
2.
∵D为BC的中点，
∴DC=½BC=½AC，
又
∵∠EDC=∠C=60°，
∴△EDC中有两个内角为60°，即△EDC是等边三角形，
∴EC=DC=½AC。
3.
∴AE=AC-EC=AC - ½AC=½AC，
又
∵AC=AB，
∴AE=½AB，
∴AE:AB=1:2。
【答案】
1:2
【知识点】
等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形相关的基础综合题，解题核心是通过角的等量关系完成两次等边三角形的判定，再结合中点的性质推导线段比例，是等边三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明$DB=DE$，可通过“等角对等边”证明两角相等来推导：首先利用等边三角形的性质，得到$∠ABC=∠ACB=60°$，结合BD是中线可知BD同时是角平分线，可得$∠DBC=30°$；再根据$CE=CD$，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，推出$∠E=30°$，得到$∠DBC=∠E$，即可证明结论。
(2) 要求$△ABC$的周长，需先求其边长：在$Rt△DFC$中，由$∠ACB=60°$可得$∠CDF=30°$，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，结合$CF=2$求出$CD$的长度；再根据BD是等边三角形的中线，可知AC是CD的2倍，求出边长后即可计算周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC$是等边三角形，BD是中线，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$，BD平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
$\because CE=CD$，
$\therefore ∠ CDE=∠ CED$。
又$\because ∠ ACB$是$△ CDE$的外角，即$∠ ACB=∠ CDE+∠ CED$，
$\therefore ∠ CED=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ CED$，
$\therefore DB=DE$。
(2) 解：
由(1)得$∠ ACB=60°$，
$\because DF⊥ BE$，$\therefore ∠ DFC=90°$，
$\therefore ∠ CDF=90°-∠ ACB=30°$，
$\therefore$在$Rt△ DFC$中，$CD=2CF$，
$\because CF=2$，$\therefore CD=2×2=4$。
$\because$BD是等边$△ ABC$的中线，$\therefore$D是AC的中点，
$\therefore AC=2CD=8$，
$\therefore △ ABC$的周长为$AB+BC+AC=3×8=24$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形的综合基础题，核心考查等边三角形、等腰三角形以及直角三角形的边角相关性质，解题时要注意“等边三角形三线合一”、“等角对等边”等常用结论的灵活运用，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，我们可以通过构造辅助线转化已知的线段相等关系：首先过点P作PF平行于BC交AC于F，先利用等边三角形的性质证明△APF是等边三角形，得到PA=PF，结合CQ=PA可得PF=CQ，进而证明△PDF和△QDC全等，推出DF=DC；再根据PE⊥AC，利用等边三角形三线合一的性质得到EF是AF的一半，最后将DE拆分为EF+DF，即可发现DE为AC的一半，代入AC长度就能求出结果。
【解析】
过点 $P$ 作 $PF // BC$，交 $AC$ 于点 $F$，
$\therefore ∠ APF=∠ B$，$∠ AFP=∠ ACB$，$∠ Q=∠ DPF$。
$\because △ ABC$ 是边长为2的等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AC=2$，
$\therefore ∠ APF=∠ AFP=∠ A=60°$，即 $△ APF$ 是等边三角形，
$\therefore PA=FP$。
又$\because CQ=PA$，
$\therefore FP = CQ$。
在$△ PDF$和$△ QDC$中：
$\begin{cases}∠ DPF=∠ Q \\∠ PDF=∠ QDC \\FP=CQ\end{cases}$
$\therefore △ PDF ≌ △ QDC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=DC=\frac{1}{2}CF$。
$\because PE ⊥ AF$，$△ APF$是等边三角形，根据三线合一性质，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AF$。
$\therefore DE=DF+EF=\frac{1}{2}CF+\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}(CF+AF)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】C
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等边三角形相关的典型几何题，解题核心是通过作平行线构造全等三角形和等边三角形，将分散的线段关系整合起来，对几何辅助线的构造能力有一定考查。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由旋转的性质可得$OP=OD$、$∠ POD=60°$，再结合等边三角形的性质得到$∠ A=∠ C=60°$。要推导$AP$的长度，可通过证明包含$AP$的三角形和包含$CO$的三角形全等建立边的等量关系：利用外角性质可得$∠ COP=∠ A+∠ APO=∠ POD+∠ COD$，结合$∠ A=∠ POD=60°$可推出$∠ APO=∠ COD$，即可用AAS证明两三角形全等，最终通过全等对应边相等计算$AP$的长度。
【解析】
由旋转的性质可得：$OP=OD$，$∠ POD=60°$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$AC=9$，
$\therefore ∠ A=∠ C=60°$。
$\because ∠ COP$是$△ AOP$的外角，
$\therefore ∠ COP=∠ A+∠ APO=60°+∠ APO$，
又$\because ∠ COP=∠ POD+∠ COD=60°+∠ COD$，
$\therefore ∠ APO=∠ COD$。
在$△ APO$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ APO=∠ COD \\OP=OD\end{cases}$
$\therefore △ APO ≌ △ COD \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AP=CO$。
$\because CO=AC-AO=9-3=6$，
$\therefore AP=6$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了旋转、等边三角形、全等三角形的核心考点，解题关键是通过外角性质推导相等的角，进而证明三角形全等，能很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7