【分析】
遇到折叠类问题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，因此可先得到∠AB'D=∠ABC，AB=AB'，∠B'AD=∠BAD=30°，进而推出∠BAB'=60°，判定△ABB'为等边三角形，得到AB'=BB'的边相等结论；再结合B'C平分∠ACB的条件，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，构造两条垂线得到相等的垂线段，通过HL证明两个直角三角形全等，推导角的等量关系，得到∠ABC=∠BAC，最后借助三角形内角和定理即可求出∠ABC的度数，也就是∠AB'D的度数。
【解析】
连接$BB'$，过点$B'$分别作$B'E ⊥ BC$于点$E$，$B'F ⊥ AC$于点$F$，则$∠ CEB'=∠ CFB'=∠ BEB'=∠ AFB'=90°$。
由折叠的性质可得：$∠ AB'D=∠ ABC$，$∠ B'AD=∠ BAD=30°$，$AB=AB'$，
$\therefore ∠ BAB'=∠ BAD+∠ B'AD=60°$，
$\therefore △ ABB'$是等边三角形，
$\therefore AB'=BB'$，$∠ B'BA=∠ B'AB=60°$。
$\because B'C$平分$∠ ACB$，$∠ ACB=α$，
$\therefore ∠ ACB'=∠ BCB'=\frac{1}{2}α$，$B'E=B'F$。
在$\mathrm{Rt}△ BB'E$和$\mathrm{Rt}△ AB'F$中：
$\begin{cases}BB'=AB' \\B'E=B'F\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BB'E ≌ \mathrm{Rt}△ AB'F(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B'BE=∠ B'AF$，
$\therefore ∠ B'BA+∠ B'BE=∠ B'AB+∠ B'AF$，即$∠ ABC=∠ BAC$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ BAC+∠ ACB=180°$，
$\therefore 2∠ ABC+α=180°$，
解得$∠ ABC=90°-\frac{1}{2}α$，
$\therefore ∠ AB'D=∠ ABC=90°-\frac{1}{2}α$。
【答案】
$\boldsymbol{90°-\dfrac{1}{2}α$
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是三角形综合类常考题，融合了折叠变换、角平分线、等边三角形、全等三角形等多个知识点，解题的关键是合理构造辅助线，找到角与角之间的等量关系，对学生的逻辑推理能力和知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

【分析】
解题时首先要审清条件：点D在直线AB上，说明D的位置有两种情况：①D在线段AB上；②D在AB的延长线上，需分类讨论求解。首先根据Rt△ABC的已知角度和边长，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BC的长度，再结合∠BCD=30°的条件，分别在两种情形下计算BD的长度，最终推导得到AD的长。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，$AB=8$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=4$，$∠ABC=90°-∠A=60°$，分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时（对应图中$D_1$）：
$\because ∠BCD_1=30°$，$\therefore ∠ACD_1=∠ACB-∠BCD_1=90°-30°=60°$，
在$△ACD_1$中，$∠A+∠ACD_1=30°+60°=90°$，$\therefore ∠AD_1C=90°$，即$CD_1⊥AB$，
在$Rt△BCD_1$中，$∠BCD_1=30°$，$\therefore BD_1=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore AD_1=AB-BD_1=8-2=6$。
2. 当点D在AB的延长线上时（对应图中$D_2$）：
$\because ∠BCD_2=30°$，根据三角形外角性质$∠ABC=∠D_2+∠BCD_2$，
$\therefore ∠D_2=∠ABC-∠BCD_2=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠D_2=∠BCD_2$，$\therefore BD_2=BC=4$，
$\therefore AD_2=AB+BD_2=8+4=12$。
综上，AD的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，三角形外角性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解。解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，遇到动点在直线上的问题时要考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明△OCD是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理：首先由△BOC≌△ADC可得OC=DC，即△OCD是等腰三角形，接下来只需证明顶角∠OCD=60°即可，结合等边△ABC的内角∠ACB=60°，通过全等的对应角相等做角度转化就能得到结论。
(2) 求α的度数时，先将△AOD的三个内角都用含α的式子表示：先通过周角360°求出∠AOD，再结合全等的对应角相等、等边△OCD的内角求出∠ODA，最后用三角形内角和求出固定值∠OAD=50°。由于等腰三角形的腰未明确，分OA=DA、OD=DA、OA=OD三种情况，利用“等边对等角”列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°，即∠OCB+∠OCA=60°。
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，∠OCB=∠DCA。
∴∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=60°，即∠OCD=60°。
∴△OCD是等边三角形。
(2) 解：由(1)得△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°。
∵∠AOB=110°，∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α。
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ODA=∠ADC-∠CDO=α-60°。
在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠ODA=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°。
当△AOD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
① 当OA=DA时，∠AOD=∠ODA，即$190°-α=α-60°$，解得$α=125°$；
② 当OD=DA时，∠AOD=∠OAD，即$190°-α=50°$，解得$α=140°$；
③ 当OA=OD时，∠ODA=∠OAD，即$α-60°=50°$，解得$α=110°$。
【答案】
(1) △OCD是等边三角形，证明成立；
(2) α的度数为$110°$或$125°$或$140°$。
【知识点】
等边三角形判定，全等三角形性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是几何综合题，综合考察了全等三角形、等边三角形、等腰三角形的核心性质，解题的关键是正确完成角度的转化，同时要注意等腰三角形腰不明确时需分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题要求AB的长度，已知△ABC是含30°角的直角三角形，结合等边△DEF的条件，可通过构造全等三角形转化线段长度求解：第一步，过D作DH⊥AB于H，得到直角为证明全等准备条件；第二步，利用直角三角形内角性质、三角形外角性质以及等边三角形的边角性质，推导角相等，证明△DHE≌△FCD，得到HE=CD；第三步，结合含30°角的直角三角形的性质，设AH为未知数，分别表示出AC和AB的长度，利用AB=2AC的关系列方程求解即可。
【解析】
解：过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$，则$∠ DHE=∠ DHA=90°$。
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ DHE=∠ C$。
$\because ∠ B=30°$，$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=60°$，在$Rt△ ABC$中，$AB=2AC$。
$\because △ DEF$ 是等边三角形，$\therefore DE = DF$，$∠ EDF = 60°$。
$\because ∠ CDE$是$△ ADE$的外角，$\therefore ∠ CDE = ∠ A +∠ DEH = 60°+∠ DEH$，
又$\because ∠ CDE = ∠ FDC + ∠ EDF = ∠ FDC +60°$，
$\therefore ∠ DEH =∠ FDC$。
在$△ DHE$和$△ FCD$中：
$\begin{cases}∠ DHE=∠ C \\∠ DEH=∠ FDC \\DE=FD\end{cases}$
$\therefore △ DHE ≌ △ FCD(\mathrm{AAS})$，$\therefore HE=CD$。
$\because CD=5$，$BE=8$，$\therefore HB=HE+BE=5+8=13$，即$AB=BH+AH=13+AH$。
在$Rt△ ADH$中，$∠ A=60°$，$\therefore ∠ ADH=30°$，$\therefore AD=2AH$。
$\therefore AC=CD+AD=5+2AH$，结合$AB=2AC$可得：
$13+AH=2(5+2AH)$
解得$AH=1$，
$\therefore AB=13+1=14$。
【答案】
$14$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，通过作垂线构造全等三角形实现线段长度的转化是解题的突破口，同时结合方程思想求解未知线段，需要熟练掌握相关特殊三角形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5

【分析】
(1) 先利用等边三角形性质得到AB=AC、∠BAC=60°，再结合轴对称的性质推出AB=AE、∠EAP=∠BAP，进而得到AC=AE，分别计算等腰△ABE和等腰△ACE的底角，两个底角相减即可求出∠BEF的度数；
(2) 证明线段和差问题常用截长补短法，本题可在AF上截取FG=CF，先证明△CFG是等边三角形，再通过角的等量代换证明△ACG≌△BCF，得到AG=BF，结合AF=AG+FG即可完成证明；
(3) 求BM+MN的最小值时，利用轴对称性质将BM转化为EM，根据两点之间线段最短+垂线段最短，可知当E、M、N三点共线且EN⊥AB时，BM+MN取得最小值，再利用三角形外角的性质即可求出∠AMB的度数。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC。
∵点B与点E关于射线AP对称，∠BAP=α=40°，
∴AB=AE，∠EAP=∠BAP=40°，
∴AC=AE，∠BAE=∠BAP+∠EAP=80°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=80°-60°=20°。
在等腰△ABE中，$∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$，
在等腰△ACE中，$∠ AEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CAE)=\frac{1}{2}×(180°-20°)=80°$，
∴∠BEF=∠AEC-∠AEB=80°-50°=30°。
(2) 证明：同(1)的推导可得，$∠ BAE=2∠ BAP=2α$，
∴$∠ CAE=2α-60°$，
∴$∠ AEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CAE)=\frac{1}{2}×[180°-(2α-60°)]=120°-α$，
$∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=\frac{1}{2}×(180°-2α)=90°-α$，
∴$∠ BEF=∠ AEC-∠ AEB=(120°-α)-(90°-α)=30°$。
由对称性质可知AP垂直平分BE，
∴∠EDF=90°，
∴∠DFE=90°-30°=60°。
在AF上取点G，使FG=CF，连接CG，
∵∠CFG=∠DFE=60°，FG=CF，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠FCG=60°，CF=CG。
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB-∠BCG=∠FCG-∠BCG，即$∠ ACG=∠ BCF$。
在△ACG和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC \\∠ACG=∠BCF \\CG=CF\end{array} $
∴△ACG≌△BCF(SAS)，
∴AG=BF。
∵AF=AG+FG，FG=CF，
∴AF=BF+CF。
(3) 解：连接ME，
由对称性质可知AP垂直平分BE，
∴BM=EM，∠AMB=∠AME，
∴BM+MN=EM+MN≥EN，当且仅当E、M、N三点共线且EN⊥AB时，EM+MN取得最小值，即BM+MN的值最小，此时∠ANE=90°。
∵∠AME是△ANM的外角，
∴∠AME=∠ANE+∠BAP=90°+α，
∴∠AMB=∠AME=90°+α。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) 证明见解析
(3) $\boxed{90°+α}$
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 轴对称的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、全等三角形、轴对称的相关知识，线段和差的证明常采用截长补短的方法，最短路径问题通常利用轴对称转化线段，结合两点之间线段最短、垂线段最短求解，对逻辑推理和几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6